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緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發表網為您精選了8篇數學除與除以的區別，愿這些內容能夠啟迪您的思維，激發您的創作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
［摘 要］在數學教學中運用比較，既可以促進學生深刻理解所學知識，提高他們的計算能力，又能讓學生在比較中掌握知識間的聯系與區別，發展思維能力，形成良好的認知結構。
［關鍵詞］比較 數學教學 運用
［中圖分類號］ G623.5
［文獻標識碼］ A
［文章編號］ 1007-9068（2015）08-060
比較是把一系列具體事物進行感知，從中概括出事物的共同點與差別，抽象出事物本質屬性的思維方法。通過比較，可以促進學生把握知識的本質，溝通知識間的內在聯系，形成良好的認知結構。
一、運用比較，理解概念
在數學教學中，可把相近或相似的概念放在一起，引導學生進行觀察、比較、分析、討論，促進學生把握概念的內涵和外延，深刻理解概念間的區別與聯系。例如，學生常把求比值與化簡比相混淆，教師教學時可引導學生從以下三個方面進行比較：（1）比較意義。求比值是計算前項除以后項的商，化簡比是把一個比化為最簡單的整數比（比的前項與后項是互質數）。（2）比較方法。求比值是用除法計算，化簡比是將比的前項和后項都除以它們的最大公約數（零除外）。（3）比較結果。比值是一個數，可以是分數，也可以是整數、小數；化簡比的結果仍然是一個比。通過這樣的比較，學生就能清楚地認識、理解求比值與化簡比之間的聯系和區別。
又如，在教學“整除”概念時，教師應引導學生比較“整除”與“除盡”兩個概念的異同。列表如下：
學生通過填表練習，辨析“整除”與“除盡”的聯系和區別，將兩個概念從本質上區別開來，進而明白這兩個概念的從屬關系，準確地把握住了“整除”的內涵與外延。
二、運用比較，提高計算的準確率
例如，在教學帶有小括號的整數四則混合運算后，教師可組織學生進行以下對比性練習。
27－18÷3 3×75÷15 100＋60÷5
（27－18）÷3 3×（75÷15） （100＋60）÷5
通過比較計算，學生進一步掌握了整數四則混合運算的計算法則，體會到了括號的作用。
三、運用比較，提高審題能力
在應用題教學中，教師運用比較，可以引導學生深入分析數量關系，提高審題能力，掌握解題方法。例如，解答分數應用題時，學生往往因審題不清而容易出現解題錯誤。在教學中，我出示了下面一組題：（1）一根木料長10米，第一次用去全長的1 ／ 4，第二次用去全長的1 ／ 5，還剩下多少米？（2）一根木料長10米，第一次用去全長的1 ／ 4，第二次用去1 ／ 5米，還剩下多少米？（3）一根木料，第一次用去全長的1 ／ 4，第二次用去1 ／ 5米，還剩下7．3米，這根木料長多少米？我首先引導學生對這組題中的具體量與分率進行比較：“1 ／ 5米”是具體量，表示一個具體的數量，反映的是長度；“1 ／ 5”是分率，不表示具體數量，反映的是比較量與標準量（單位“1”的數量）之間的關系。接著比較各題所求問題的差異，最后比較解題方法。通過這樣的比較和辨析，既培養了學生認真審題的良好習慣，又深化了學生的思維，提高了他們的解題能力。
四、運用比較，發現新知
數學知識具有很強的邏輯性，新舊知識之間既互相聯系，又互相轉化。在數學教學中，恰當地利用新舊知識之間的聯系進行比較，可以促進知識的遷移，幫助學生深刻理解所學的新知識。
例如，在教學“比的基本性質”時，教師先讓學生比較除法、分數、比各自組成部分的區別與聯系（如下表），然后引導學生回憶商不變規律與分數的基本性質。通過分析比較，讓學生自己猜想、驗證，歸納總結出比的基本性質。這樣通過類比推理，既實現教學新知識的目的，又培養了學生探究新知的能力。
五、運用比較，突出特征
所謂特征，就是一類事物區別于其他事物的特有屬性。在教學中，教師應引導學生進行有效的比較，理解一些相似或相近知識的特有屬性。例如，教學“長方形和正方形的認識”時，教師在組織學生對長方形和正方形看一看、量一量、折一折后，讓學生通過不同圖形的比較，進一步掌握長方形和正方形的特征。通過對長方形、正方形、三角形和五邊形的比較，突出了長方形和正方形四個角、四條邊的特征；通過與不規則四邊形、平行四形、梯形的比較，突出了長方形、正方形四個角都是直角和對邊相等的特征。
關鍵詞：比較法；數學；運用
著名教育家烏申斯基認為：“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”小學數學中有許多內容既有聯系又有區別，在教學中充分運用比較的方法，有助于突出教學重點，突破教學難點，使學生容易接受新知識，防止知識的混淆，提高辨別能力，從而扎實地掌握數學知識，發展邏輯思維能力。
一、運用比較法，訓練形象思維，豐富感知
小學生由于生活接觸面窄，社會實踐經驗少，感性知識比較貧乏，空間想象力差，采用比較的方法進行教學，可使學生對感性知識獲得較深刻的印象。如在教學毫米和分米的認識（人教版小學數學第五冊）時，因為學生已經認識了“1厘米”，為了使學生對“1毫米、1分米”有比較正確的認識，可以讓學生拿著尺子，對著“1毫米”和“1厘米”的刻度進行比較，再拿“1分米”和“1厘米”比較，然后讓學生用手勢表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的長度，最后讓學生填空：課桌寬大約是60（ ），一塊橡皮的長大約是30（ ），數學教本的長度大約是2（ ）。通過這樣的比較，學生對這些長度單位就有了比較深刻的印象。同樣，用比較的方法教學面積單位、體積單位，也會取得很好的教學效果。
二、運用比較法，理解內涵，掌握概念
為了使學生正確地理解和掌握概念，就要揭示概念的本質屬性，充分理解其內涵，而對事物進行比較是揭示概念本質屬性和理解內涵的重要學習方法。如教學“整除”這個概念時，讓學生對一些除法算式進行比較，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道單有“商是整數而沒有余數”這個條件，還不能判斷一個數能被另一個數整除，還必須有“被除數和除數都是整數”這個條件才行。通過比較，學生正確地理解了整除的含義。再如教學“求比值”和“化簡比”，要從意義、方法和結果三方面進行比較，“求比值”也就是求商，而“化簡比”是把一個比較復雜的比化成一個最簡單的整數比；“求比值”和“化簡比”的方法可以通用，都可以用除法計算；“求比值”和“化簡比”的結果是不同的，“求比值”的結果是一個“數”，可以寫成分數、小數，有時能寫成整數，而“化簡比”的結果則是一個“比”，可以寫成真分數或假分數的形式，但是不能寫成帶分數、小數或整數。比較以后，學生才能充分理解“求比值”和“化簡比”的內涵。
三、運用比較法，新舊知識聯系，形成知識網絡
在教學一個新知識點時，如果能與以往學過的舊知識相聯系，進行比較，弄清新舊知識的聯系與區別，不但容易學會新知，還鞏固了舊知，并且使知識系統化，形成知識網絡。如教學“比的意義”時，將“比”“除法”和“分數”進行比較，可列表如下：
通過這樣比較，使學生明確比和除法、分數的關系和區別，把比、除法、分數聯系起來，形成知識網，為后面學習“比”的應用打下基礎。
四、運用比較法，區別應用題的結構，正確選擇解法
在應用題的教學中，經常應用比較的方法來區別應用題的結構，以便分析數量關系，選擇正確的解題方法。如低年級的加減法應用題、乘除法應用題、高年級的分數乘除法應用題。如教學應用題：（1）池塘里有12只鴨和4只鵝，鵝的只數是鴨的幾分之幾？（2）池塘里有12只鴨，鵝的只數是鴨的，池塘里有多少只鵝？（3）池塘里有4只鵝，正好是鴨的只數的，池塘里有多少只鴨？通過比較，學生知道了應用題在結構上的相同點和不同點，使他們懂得第（1）題，根據分數的意義和分數與除法的關系，要用除法來計算。第（2）題，根據一個數乘分數的意義，用乘法計算。第（3）題，根據一個數乘分數的意義，列方程解答，或根據除法的意義直接用除法計算。通過比較，使學生了解了分數乘除法應用題的結構和思路的異同，從而能正確解答分數乘除法應用題。
五、對比練習，異同結合
學習新課之后，不僅要集中練習所學的內容，還要練以前學過的內容，特別要練習與新學內容相似而容易混淆的題目，使學生既能深刻理解新的知識，又能掌握新舊知識之間的“同”和“異”，區別應用。如練習“歸一應用題”，應帶練“歸總應用題”；學完“連除應用題”后的練習，也應有“連乘應用題”的題目。通過比較它們的解題思路，明確它們之間的相互聯系，可使各個零碎的知識串成線、聯成網，從而構建起完整的知識結構。這樣的對比練習也便于學生辨別和鞏固所學的數學知識，培養學生分析問題、靈活運用知識解決實際問題的能力。
六、運用比較法，觀察特征，發現規律
許多數學規律、性質、公式，都是通過觀察比較、概括出來的。如商不變規律、小數點位置移動引起小數大小的變化規律、小數的基本性質、分數的基本性質等。比如，分數的基本性質，通過畫圖可以知道==。接著讓學生比較這三個分數的分子和分母，看它們各是按照什么規律變化的。比較（1）：從左往右看，學生很容易發現的分子和分母都乘以2就得到，的分子和分母都乘以3就得到；比較（2）：從右往左看，的分子和分母都除以3就得到，的分子和分母都除以2就得到，從而發現分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘以或者除以相同的數（零除外），分數的大小不變。
知識不需要對“成功”負責，需要對成功負責的東西，叫技能。然而現在很多人，分不清兩者的區別。下面小編給大家分享一些六年級上冊數學三單元知識，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!
六年級上冊數學三單元知識1.認識倒數
(1)倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數。0沒有倒數，1的倒數是它本身。
(2)求一個數的倒數
①求分數的倒數：交換分子和分母的位置即可。
②求整數的倒數(0除外)：先把整數看作分母是1的假分數，然后交換分子、分母的位置即可。
③求小數的倒數：先把小數化成分數，再交換分子、分母的位置。
2.分數的除法
(1)分數除法的意義：與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
(2)分數除法的計算：一個數除以一個不為0的數，等于乘這個不為0的數的倒數。
(3)分數的四則混合運算：與整數的四則混合運算的運算順序相同。
① 先乘除，后加減;
② 如果有括號，要先算括號里面的。
(4)解決問題，這里主要包含三種類型的題。
① 已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數。
方法一：設單位“1”的量為x，然后列方程解答。
方法二：已知量÷已知量占單位“1”的幾分之幾=單位“1”的量。
② 已知比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少，求這個數。
方法一：設單位“1”的量為x，然后列方程解答，所依據的數量關系是，單位“1”的量×(1 ± 幾分之幾)=已知量。
方法二：先確定單位“1”的量，計算出已知量占單位“1”的幾分之幾，再根據分數除法的意義列式解答。
③ 已知兩個數的和或差以及這兩個數之間的倍數關系，求這兩個數。
先找出單位“1”的量并設為x，用含有x的式子表示出另一個量，再根據兩個數的和或差列方程解答。
(5)工程問題
工作總量=工作效率×工作時間
工作效率=工作總量÷工作時間
工作時間=工作總量÷工作效率
六年級上冊數學三單元知識21.分數除法計算
(1)分數除法的意義和分數除以整數
知識點一：分數除法的意義
整數除法的意義：已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數，用(除法)計算。
的意義是：已知兩個因數的積是，其中一個因數是3，求另一個因數是多少。
分數除法的意義與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
知識點二：分數除以整數的計算方法
把一個數平均分成整數份，求其中的幾份就是求這個數的幾分之幾是多少。
分數除以整數(0除外)的計算方法：分數除以整數(0除外)，等于分數乘這個整數的倒數。
(2)一個數除以分數
知識點一：一個數除以分數的計算方法
一個數除以分數，等于這個數乘分數的倒數。
知識點二：分數除法的統一計算法則
甲數除以乙數(0除外)，等于甲數乘乙數的倒數。
知識點三：商與被除數的大小關系
一個數(0除外)除以小于1的數，商大于被除數。除以1，商等于被除數。除以大于1的數，商小于被除數。
0除以任何數商都為0
(3)分數除法的混合運算
知識點一：分數除加、除減的運算順序
除加、除減混合運算，如果沒有括號，先算除法，后算加減。
知識點二：連除的計算方法
分數連除，可以分步轉化為乘法計算，也可以一次都轉化為乘法再計算，能約分的要約分。
如何學好小學數學的方法一、恰當的學習方法和學習習慣
1、做好課前預習，掌握聽課主動權。
課前準備的好壞，直接影響聽課的效果。
2、專心聽講，做好課堂筆記。
3、及時復習，把知識轉化為技能。
4、認真完成作業，形成技能技巧，提高分析解決問題的能力。
5、及時進行小結，把所學知識條理化、系統化。
因此，我們今后還要保持“先預習、后聽講;先復習、后作業;經常進行階段小結”的好習慣。
二、良好的學習動機和學習興趣
學習動機是推動你們學習的直接動力。華羅庚說：“有了興趣就會樂此不疲，好之不倦，因而，也就會擠時間來學習了。”我很高興你們能夠喜歡數學課，我希望你們在數學的學習中獲得更多樂趣。
三、堅強的意志
在學習數學的過程中，你們遇到過許多大大小小的困難，你們能堅定信心，勇敢地面對困難，戰勝困難，這需要堅強的意志。滿懷信心地迎接困難，奮力拼搏戰勝困難，就是意志堅韌的表現。你們具有這種十分可貴的品質，在學習遇到困難或挫折時，就會不灰心喪氣;在取得好成績時，也不驕傲自滿，而是善于總結經驗教訓，探索學習的規律和方法，奮勇前進。這樣才取得了好成績。
四、自信心與勤奮
關鍵詞：思維能力；數學教學；推理能力；培養
中圖分類號：G421；G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2017）12-0036-01
數學學科最大的特點就是系統性和邏輯性強，數學教學的一個任務就是要培養學生具有初步的抽象思維能力。因此，在教學活動中，教師必須遵循思維規律，正確運用抽象思維形式，幫助學生理解概念和解答習題，提高分析問題和解決問題的能力。在實踐中，教師要讓學生逐步學會使用比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理等思維方法，以培養學生的抽象邏輯思維能力。
一、運用比較的方法，使學生搞清知識間的聯系和區別
數學學科有著很強的抽象性、系統性和嚴密的邏輯性。有時候一字之差就會引起概念上的模糊，如“除”和“除以”，“增加到”和“增加了”等如不仔細比較，就會產生概念模糊。而概念是思維活動的一個十分重要的基礎。因此，概念的模糊必然會引起思維的混亂。教師只有讓學生加以比較，分清聯系與區別，才能找出事物的本質屬性，加深他們對所學知識的理解。比如，求比值與化簡比時，學生常將兩者混淆起來。要糾正學生的錯誤，教師采用比較的方法就可以達到較好的效果。在教學中教師可從以下三方面進行比較。一是從意義上比較。比值是前項除以后項的得到的商，化簡比則是把一個比化成最簡整數比。二是從方法上比較。求比值是用前項除以后項，而化簡比是把比的前項和后項都都乘以或除以相同的數（零除外）。三是結果上表現形式比較。比值是一個數值，它可以是整數也可以是小數或分數；化簡比結果是一個比，它具有前項和后項而且兩數是互質數。學生通過比較，得出兩者意義不同、方法不同、結果的表現形式不同。這樣就強化了概念，學生在化簡比時會提醒自己注意區別，防止混淆。與此同時，對比練習加深了學生對知識的理解。而且學生重視了比較的學習方法，有利于對數知識準確、完整的理解。
二、注意及時地抽象、概括，使學生形成正確的概念
抽象和概括是形成概念的思維過程和科學方法，兩者相互聯系，互為依靠。每個概念、定律、公式和原則都是抽象和概括的結果。在教學中，教師差不多每章都要給學生講授一些新的概念，而且在講授過程中要運用大量的概念。因此，培養學生的抽象、概括能力十分重要。教師在教學時要積極引導學生觀察分析各個具體的事例，把一些非本質的東西拋開，抽象出其中本質的、內在的東西，并加以概括，以形成正確的概念和思維。抽象和概括同樣要建立在大量的感性材料的基礎上，沒有感性材料作基礎，就不可能有抽象和概括的活動。如在教學質數和合數的概念時，教師首先請學生寫出1～12各數的約數，然后按約數個數和特點進行分類，再讓學生根據1、3、5、7、11這些數的特征及時概括出質數的意義，根據4、6、8、8、10這些數的共性概括出合數的意義。學生經過動手、動腦，有了一定的感性知識，就能主動地獲取新的知識。
三、加強學生的判斷和推理能力，訓練、培養和提高學生辨別能力
學生的判斷和推理能力的發展既有階段性，又有連續性。按照從具體到抽象、從簡單到復雜、從低級到高級的認識發展規律，教師要創設有利條件，加強對學生的判斷、推理能力的訓練，是發展學生邏輯思維能力的一個重要方面。訓練時，教師既注意扎實的概念基礎，又注意變化比較，才能提高學生判斷、推理能力。如根據常見數量關系判斷成正、反比例的量，學生經過訓練就能正確理解。比如，工作時間一定，制造零件的數量和每個零件的加工時間……學生一看“一定”，就會很快地說成正比例。對比要讓學生通過事例來檢查自己的判斷：（ ）一定，數量和總價正比例；（ ）一定，工作效率和工作時間成正比例；（ ）一定，它的（ ）和（ ）成反比例。這些有變化的習題，要求學生將一般模式和變化的模式交錯練習，運用概念促使自己動腦筋去辨別正誤。
四、規范數學語言，正確反映思維活動
語言是思維的外殼，語言是否準確、精練是抽象思維能力強弱的一個重要標志。教師在教學中要注重對學生進行規范的數學語言訓練，使他們表述準確、完整、清晰、有條理。在教學過程中，有的學生理解了所講授的熱藎但回答問題進說不明白。這時，教師就要耐心地引導，讓他們把話說明白。比如，有的學生在回答齒輪的齒數與轉數之間的關系時說“齒數與轉數成反比例”，教師要指出學生的錯誤，讓學生明白這里必須有一定的時間和互相咬合的齒輪兩個條件，缺少了這兩個條件，結論就不正確。同時，教師還要讓學生重新復述，訓練學生的語言表達能力，使學生懂得數學語言的嚴密性。
五、結束語
總之，在數學教學過程中，教師要針對不同年齡的學生和學生的知識基礎，因材施教，有意識地發展學生的具體形象思維能力和邏輯抽象能力，并以此為基礎引導學生開展各種創造性思維活動，培養他們的形象思維和抽象思維能力。
參考文獻：
[關鍵詞]：類比法；對比法；數學教學；分式
數學問題浩如煙海，面對一個個數學問題如何著手求解?有些學生做了大量的題目，但考試遇到新題型或只是稍稍變換一下，就不知所措，原因是在平時的學習中，缺乏掌握數學思考方法。掌握一種新的思考方法要比學會解幾道具體習題更為重要，這些解題方法和技巧是進一步學習數學不可缺少的工具，數學方法的學習，在數學學習中起到事半功倍的效果，本文就數學類比和對比法在初中教學中的具體應用進行闡述。
類比是根據兩個對象有一部分性質類似，推出與這兩個對象的其他性質相類似的一種推理方法。因此，類比是從特殊到特殊的推理。通過類比，可以發現新舊知識的相同點，利用已有的舊知識，來認識新知識。
對比是通過比較，找出一事物區別其他事物的特點，通過對比可以找出差異，有助于進一步加深對新知識的理解。
類比和對比這兩種方法是相輔相成的，都是通過新舊知識的相互聯系，利用已有的舊知識，揭示新知識的本質。
例如：在學習分式這章時，關鍵是要用與分數類比的方法導出分式概念，分式基本性質與分式的四則運算法則，這樣新知識易為學生接受與掌握，具體操作如下：
首先，復習小學學過的分數概念：兩數相除，可以表示成分數的形式.如3÷4=,(-7)÷2=-,5÷(-9)=
，一個分數由分子、分母和分數線構成，分子、分母都是數，但分母不能是零，為什么分母不能為零呢?因為零不能做除數，分數有正分數、負分數，如果分子等于零，只要分母不是零(不論是正數還是負數)，這個分數的值就是零。把分數的概念引伸到代數式來，如
這兩個式子有什么特點?(1)分式由分子、分母與分數線構成；(2)分母中含有字母，這就是分式，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著，指出分數與分式的區別所在：分數與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。
其次，在講分式的基本性質時，先復習分數的基本性質，推想分式的基本性質，我們來看如何做不同分母的分數的加法：；，這里先將異分母化為同分母，，這是根據什么呢?根據分數的基本性質：分數的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的數，分數的值不變，分式是一般化了的分數，因此，分式應該有，這里，A、B、M是整式，根據分式的概念應該要求B0，由分數的基本性質應該想到M0。因此，分式的基本性質是分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變。
第三，分式的四則運算順序也可以類比分數進行，先做括號內的運算，然后再進行乘除運算，最后進行加減運算，這個順序和步驟正是分式四則混合運算的順序和步驟。概括地說是：“先乘除，后加減、括號內先進行”。
在幾何教學中，在講解相似三角形判定定理可類比全等三角形得到，全等形與相似形的關系：全等三角形是相似三角形，當相似比值K＝l時的特例，全等與相似條件的比較：
(1)兩角相等----兩三角形相似
兩角相等，夾邊相等----兩三角形全等；
(2)兩邊成比例、夾角相等----兩三角形相似
兩邊相等，夾角相等----兩三角形全等；
(3)三邊對應成比例----兩三角形相似
一、霧里看花，花非花
案例：“兩位數除以一位數”
片斷1：
（出示6÷3=2，60÷3=20）
師：仔細觀察，你發現了什么？
生：第二道題的得數多了一個0。
師（追問）：為什么？
生：因為這道式子被除數的前面多了一個0。
……
片斷2：
師（寫出豎式，特地用紅筆寫商十位上的2）：為什么商2寫在十位上？
生：因為個位上還有一個數，所以2只能寫在十位上。
師：對。
……
思考：
從上述教學中，可以看出學生只說出了數學知識的表面現象，根本沒有理解其計算背后的實質，即我們所說的算理。如片斷1中，60÷3=20中的60是由6個十組成的，6個十除以3等于2個十，2個十就是20。用數的組成能解釋學生的觀察，但筆者認為，6÷3=2只能作為一種記憶的輔助形式，它可以看做數的組成的簡化形式，兩道算式都可以通過“二三得六”這句口訣想到。如“三位數除以一位數”一課中安排例題600÷3=200，教材出示了三種算法：第一種是算除想乘；第二種是數的組成；第三種是以小推大。這里如果細分的話，算除想乘是方法，數的組成是算理，以小推大是形式。如果說學生不能在教師引導下感知的話，那么在學習“兩位數除以兩位數”中，學生將遇到困難。當學生看到例題60÷20=30時，還是會想到教材出現的以小推大的輔助記憶形式6÷3=2，但此時會有更多的學生摒棄這種思維，因為這種記憶不容易區分“60÷3=20、600÷3=200、60÷20=30”三者的計算，轉而采用算除想乘的算法或“60里面有幾個30”這樣的除法意義來區別。
同樣，片斷2中，學生的解釋體現了他們的機智，卻無法體現數學味。商2寫在十位上是因為將十位上的4平均分成2份，每一份是20，在十位上寫2。對上述教學片斷中教師就此肯定學生說對了而繼續講課的場景，筆者認為教師沒能抓住時機起到引領作用。這樣教學，表面上看好像尊重了學生，但卻使學生對數學知識的認識是淺層的、不全面的，導致學生對除法豎式這一部分內容一知半解，不利于后續知識的對比與遷移。
二、道是容易，卻難教
片斷3：
在完整列豎式計算（如下）的過程中，教師完全根據算式來講解：“商2乘除數2得4，被除數4減4得0，0不寫，接著將個位的6移下來接著除……”
思考：
上述教學片斷，看似流暢的講解卻完全拋棄了主題圖中小棒的作用，學生不明白為什么要用這樣的豎式來計算，不理解這樣計算的算理，不能將口算的思考過程與豎式計算的過程相結合。學生在這么多不理解的情況下，只能被動地機械模仿。
我們回過頭來分析書中的例題，只有深入了解了教材內容的安排，才能有針對性地開展教學。首先，例題學習的是口算整十數除以一位數（如40÷2），再過渡到口算兩位數處以一位數（如46÷2），學生能很快說出得數。學生口算出得數后，再利用豎式將思考過程清楚地進行表達，最后進行練習。
要想學生有較強的知識遷移能力，弄清楚豎式的算理是必需的。在教學中，學生遇到的困難則是算理比較抽象，豎式計算的格式規則較難理解，這就需要小棒操作的有力支撐。將操作經驗上升為計算方法，是學生接受除法豎式的必要基礎。
案例中，配合學生擺小棒的這個過程，將46根小棒平均分給兩個小朋友，先分整捆小棒，每人分得2捆，是20枝；再分單根小棒，每人3根，合起來就是23根。從這個過程中，我們很清楚地看到學生的思維在不斷提升，先是借助實物動手擺一擺，接著是頭腦中擺小棒與算式過程的對應，到最后直接用豎式來表達計算的過程。這樣逐步提升、抽象的過程，提升了教學的層次感。學生也在這個過程中了解到豎式更能清楚地記錄自己分配思考的過程，就會從內心接受豎式計算，在練習中才能避免根據得數來“湊”豎式的現象（如下圖），從而發展了學生的數學思維能力。
案例一：
為了吸引顧客，超市準備用“2盒牛奶，3盒酸奶”組合，制成禮盒再銷售，最多可以制成多少禮盒？
商品名稱 數量
牛奶 18盒
酸奶 24盒
在解題過程中，相當一部分學生由于對“組合”的意思沒有理解清楚，最終得出錯誤的答案9（18÷2=9）。事實上生活中這種組合搭配的案例數不勝數，如按不 同的人數比例組成調查小組，玩具裝配過程中各零配件的使用數量等等。如果學生對“組合”之意不求甚解，則會曲解題意。
案例二：
計算：從1500里減去40個35，再除2.5，得多少？
錯誤列式（1500-35×40）÷2.5
正確列式：
2.5÷（1500-35×40）
=2.5÷100
=0.025
產生列式錯誤的主要原因是學生沒有抓住題目中的關鍵詞，如 “除以”與“除”的區別，沒有弄清題目中的和、差、積、商的隸屬關系。因此，正確解答文字題與語文的閱讀能力關系很大。
案例三：
勝利機械廠1995年的產值是65萬元，1997年的產值比1995年增長了3倍。1997 年的產值是多少萬元？
錯解：
65×3=195（萬元）。
答：1997 年的產值是 195 萬元。
正解：
65+65×3
=65+195
=260（萬元）。
或者 65×（3+1）
=65×4
=260（萬元）。
答：1997 年的產值是 260 萬元。
分析學生錯解的原因是學生對“倍數”關系理解不清而造成的把 “增長了3倍”與“求一個數的3倍是多少”等同起來，不知道1997年的產值比1995年增長3倍以后，是1995年產值的4倍，因此產生了錯誤。
通過對以上案例的認真分析與研究，我們不難發現學生雖然計算過程無誤，但是解題思路出現了偏差，看似一字之差（如“除”和“除以”）結果卻大相徑庭。這當然不能簡單地歸結為學生的“馬虎”，而應追根溯源，挖掘其深層原因。小學生由于其生活閱歷較淺，對于數學習題中的文字信息在理解上較為膚淺，再加上對一些數學概念認知模糊，最終會導致其審題不清，得出錯誤的答案。因此，數學教師在加強學生運算能力培養的同時更要注重學生文本閱讀能力的培養。
眾所周知，文本是學生接觸數學知識，理解數學內容，應用數學解題的基本形式，文本內容的豐富性和特定的內涵性使數學知識變得“抽象”和“多變”起來，因此，提高學生數學文本認知與閱讀能力是當前課改的新課題。
1.從教材閱讀中提升理解能力
重視閱讀數學課本，按課本原文逐字逐句，逐節閱讀。在閱讀中讓學生反復琢磨，認真思考教材中的敘述或旁注的概念、定理、思考方法、操作方法、問題與要求。如在閱讀分數的基本性質時，“分數的分子和分母都乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變”，性質中有本質特征的關鍵詞句要仔細品味，深刻理解其語意，并不時提出一些反問，如：換成其他詞語行嗎？省略某某字行嗎？加上某某字行嗎？等等。要讀出書中的要點、難點和疑點，讀出字里行間蘊藏的內容，讀出從課文中提煉的數學思想，觀點和方法。
2.從習題閱讀中拓展知識外延
習題是數學課堂訓練的基本形式，也是學生鞏固和消化所學知識并轉化為技能的重要環節，其重要性不言而喻。習題不僅能夠讓學生熟悉更多的題型，還能拓展知識外延，讓學生有更多機會了解數學在生活、在現實中的作用和價值。例如，教師在講解四舍五入知識點時，什么時候該“舍”，什么時候該“入”需視情景而定，如貨物裝箱問題，即使是剩余了四或比四小，也是不能“舍”的，因為現實生活中我們總不能把貨物丟棄。
3.從數學實踐中提升理解能力
“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行。”要提升學生的文本閱讀能力，教師還應引領學生在教學實踐中逐漸感悟和把握數學文本的內涵，在學習活動中逐漸糾正認識偏差，提升理解能力。例如植樹問題是小學數學教學中最常見的題材，由于題目中可能會出現封閉和非封閉線路的情況，涉及兩端是否栽樹的問題，因此會使簡單問題“復雜化”。
【關鍵詞】疊加 3的倍數 特征 判斷
一、問題的提出
我們知道，判別一個數是否是3的倍數（或能否被3整除），一般按現行教材上所說（包括人教版等其它各版本在內）即：如果一個數（筆者注：本文中所涉及的“數”均指非零自然數）各位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。表面上看這是將問題化簡，再以簡單的判斷去推斷原數是否是3的倍數的結論。實際上，嚴格地說這是個循環定義。試想：學生在此之前，并未學過“判斷3的倍數”的概念，憑借什么去判斷“和是3的倍怠保進而去實行新的推斷呢？好在學生已學過數的整除的意義，學生最后還是歸結為將“各位上數的和”除以3再去判斷。可見，這與將原數直接除以3沒有什么本質的區別。只不過一個復雜，一個簡單，以簡馭繁而已。
但我們注意到，現行教材中相關課題，涉及提到的都是“特征”二字。“特征”可作為事物獨特地方所具有的征象、標志，一般乃事物的外部表現。教材在這之前講到的2、5倍數數的特征，因其直觀表現，比較準確。因為能被2、5整除的數，可以從該數外表上“看”出來。例如：個位上是0、2、4、6、8的整數，都是2的倍數；個位上是0或5的整數，都是5的倍數。那么3的倍數的特征在哪呢？所以這里所學的大部分情況的“特征”，實質是它的“特點”而已。筆者也注意到有的專家行文中提到“特點”，這或許就是當前有人提倡改變說法的原因所在吧。
表述的細微變化，恰恰讓我們感觸思考：本課例是否另外有一種教學的途徑呢？有沒有可以改進的方法呢？或者更直接提出現在的問題：我們能否找到3的倍數，它所具有的內部更直接的“具像”特征，哪怕是一種弱式的表現？甚至更為大膽的設想，今后的教材可否作相應的改進呢。
二、“疊加”的教學探求
我們說答案是肯定的。如何引導學生來探討，我們作了一番思考，那就是進行“疊加”計算，再根據“疊加”出的結果進行直接的判斷。為了更好的達到教學效果，可這樣設計進行：
第一層次，探求關聯。出示4張卡片，分別寫上數字如：2、7、5、1，排出一個四位數后，例如是2751，再讓學生除以3，得2751÷3=917，能被3整除，是3的倍數；接著任意調換位置，再讓學生除以3，仍能被3整除，是3的倍數……為了更全面地說明問題，將其中的一個數加上1或減去1，如將上述的2751，其中的2改為3，排列得3751，將此數除以3，發現不能被3整除，不是3的倍數；再任意調換幾個數的位置得到的數除以3，發現總不能被3整除，亦即總不是3的倍數。引導學生得出：一個數是否是3的倍數，與它各位上的數的大小有關但與其位置無關！
這樣安排連續遞進的數學活動，與原有教材探求方向保持一致。
第二層次，定向分類。師可出示先計算再作分類的題目，如先將下列各數分別除以3，然后分成兩組：
15、56、97、112、235、864、1056、2381、2258、5475，
第一組：能被3整除的數有（ ）。
第二組：不能被3整除的數有（ ）。
“整除”的概念學生早已學過，而判斷有待學習，所以必須先讓學生具體計算進行。有意設置此項活動，讓學生經歷探求過程。
第三層次，指導“疊加”。對于剛才分類的兩種數，讓學生分別把各位上的數相加求和；若和仍是多位數，再去相加，一直加到和是一位數（數學術語叫“數字根”）為止。我們把這個過程叫做“疊加”。如724352，第一次將各位上的數相加得7+2+4+3+5+2=23；23是個兩位數，再進行類似加法得2+3=5；5是一位數，結束。
第四層次，引導發現。“疊加”過程結束后，師及時讓學生說說將某個數進行“疊加”所得的結果。引導同位同學進行對比去發現：能被3整除的數，“疊加”的結果是3、6或9；而不能被3整除的數，“疊加”的結果是1、2、4、5、7或8。這時針對小學生的特點，我們和一般現行教科書一樣，采用不完全歸納法，讓學生自己發現并初步總結規律，即：一個整數，如果“疊加”的最后結果是3、6或9，則這個數一定是3的倍數；如果“疊加”的最后結果不是3、6或9，則這個數一定不是3的倍數。
第五層次，驗證結論（多項活動方式進行，略）。
三、“疊加”判斷的教學價值
以上所述，“疊加”判斷不失為是一種創新的方法，關鍵是符合“特征”且易于口算進行，既有知識性又有趣味性，學生有興趣也能很好掌握。此外，多年實踐的教材客觀上也提供了這種教法的可能性，“疊加”實際上就是教材上所謂3的倍數的特征（即：一個數各位上數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數）的反復運用，這如算法語言程序控制上的過程自我調用，亦即“遞歸”。只不過在最后不需要“算”能否“被3整除”，而是“看”是否是“3、6或9”罷了。
探求過程中，既培養學生的的應用意識和創新意識，又能讓學生體驗成功的快樂，習得科學的研究方法與態度。同時，對于解決問題而言，也更具有策略性。
我們通過探索提出的“疊加法”，或將為教材的編寫提供參考：既可作為通行的方法，替換原有的課例，列入相應的教學內容，也可以一種補充方式作為擴展內容。
【參考文獻】
[1] 數學課程標準[S]. 北京師范大學出版社，2011.
