時間：2023-09-03 15:18:43
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作為計算機相關專業核心基礎課程，離散數學在國內外大學計算機專業教學中均受到充分的重視。近年來，計算機專業離散數學課程的教學改革受到國內各高校關注，更多地注重應用信息技術輔助于教學過程，并結合計算機學科背景、計算機專業應用開展教學，如在教學中引入數學實驗或數學建模、網絡精品課程、雙語教學，以及近年來的MOOC課程等。同時，眾多的學校也在教學思想、方法上進行改革，包括在教學過程中融入程序設計、應用案例、數學建模以及數學文化等。這些教學改革措施取得了一定的效果，但針對目前計算機專業教學面臨的就業問題、學科專業創新思維培養、課程教學學時限制等，離散數學課程教學還存在一系列需要探討的問題。注意到，這些教學改革能夠增加學生的學習興趣與學習信心，強化學習過程。但根據我們多年的教學實踐，從離散數學課程的理論性強、抽象程度高的特點以及學生學習該課程時的基礎等方面分析，這些教學改革措施實施并不容易，難以達到預期的效果，甚至可能出現本末倒置的情況。特別是網絡課程學習、動畫輔助教學等教學效果并不理想，這是有離散數學課程特點決定了的。我們認為要從計算機專業學科體系高度出發思考如何進行研究性教學，要抓住計算機學科發展規律、離散數學課程特點，以增強學生理論知識、抽象思維能力、邏輯思維能力、自主學習能力，以及理解計算機科學核心思想和方法為目標進行教學改革。本文在分析各類教學改革措施基礎上，探討新時期下離散數學教學內容與教學模式。
二、離散數學教學模式
基于現有的研究基礎與教學實踐經驗，筆者認為，要達到離散數學的主要教學目標，需要進一步探討如下幾個方面的問題:如何通過應用案例有效地增加學生學習興趣?如何有效訓練學生計算思維?如何增強學生的創新能力?如何選擇教學實驗?針對目前國內高校計算機專業體系安排以及教學學時壓縮和增強學生自主學習能力難度較大的現實，筆者認為，離散數學教學內容應該以數理邏輯、集合論以及代數結構、圖論為主，同時注重如下幾方面的教學內容的設計:應用案例、計算思維訓練、“本原性學科問題”導學設計等。離散數學采取傳統教學方式與現代計算機輔助教學方式結合的教學模式是最佳選擇。前者強調有益于學生獨立自主的學習思考的教學過程，后者強調可以適當使用多媒體方式展示有大量文字信息的內容給學生，以節省時間，讓學生快速地了解教學內容。特別地，基于歷史上學科發展過程的視角的“本原性學科問題驅動”教學模式是一種適宜于離散數學課程的教學模式，主要基于如下兩方面的思考:一方面，離散數學課程一般在低年級開設，學生對計算機專業還沒有深入的理解，如果僅僅是提供離散數學課程中邏輯性、抽象性非常強的概念、性質給學生，會使得學生在思維與方法上脫離計算機科學專業而導致其學習興趣不強，從而影響后續理論與實踐課程的學習。在新的就業形勢下，有必要開展新的教學模式研究。另一方面，教學經驗表明，學生對課程相關主題的研究歷史(相當程度上也是計算機學科的發展歷史)和研究具體過程表現出濃厚的興趣，從而啟發我們，是否可以將學科本質問題或學科相關主題的研究或發展歷史過程與離散數學課程的理論教學結合起來?希望學生在學習過程中不僅僅能看到成熟的離散數學成果，也能夠看到原始問題，看到計算機學科本質、計算機學科發展過程，能夠真正理解為什么要學、學什么以及怎么學的問題，能夠積極主動了解、理解或甚至參與學科相關問題的提出、發展的過程，這個過程類似于計算機科學家或數學家的研究活動過程。因此，研究與設計來源于歷史、可以反映研究過程并適合于課程教學的離散數學本原性學科問題是很必要和重要的。
三、離散數學教學內容
目前，國內大多數高校計算機專業離散數學課程教學內容主要包括四個部分:數理邏輯、集合論、代數結構以及圖論，而國外大部分計算機專業離散數學課程主要包括數理邏輯(證明方法)、集合、圖論、離散概率以及組合數學部分基礎或算法分析等內容，少數還討論數論。國內有少部分高校采用國外教材從而在教學內容上與后者一致，前者更合適國內計算機專業教學體系，并能更好地銜接研究生考試。整體上，國內高校離散數學教學內容與學時安排上是比較統一的，適合國內絕大部分高校計算機專業的實際情況。
1．應用案例設計
應用案例教學在離散數學教學中已受到相當程度的重視，但如何選擇案例仍然值得研究。教學案例應該是能夠很好地融合到理論學習中，學生通過課堂教學、課外自學逐步了解、理解案例的理論背景以及學科思想與方法。但限于當前學生學習任務重，自學時間少，具體分析討論的案例應該精而少。例如，筆者近年教授的計算機專業學生的專業方向是信息安全，便設計了如下的教學案例:圖論應用案例描述:軟件水印因為其種類繁多、檢測和分析困難而成為研究的熱點之一，尤其是抗攻擊能力較好的動態圖軟件水印特別受到關注。動態圖水印是由Collberg和Thomborson提出的一種基于圖論的軟件水印技術，DGW的基本思想是用一個圖的拓撲結構來表示水印數據，當輸入一個特定的序列后可以觸發后該拓撲結構在程序運行時動態創建，從而提取出圖的拓撲結構得到水印數據。實現動態圖軟件水印的基本步驟略。相關問題:①分析圖基礎概念與圖的拓撲結構定義;②定義圖結構與水印映射關系;③圖的遍歷;④設計一種圖結構與映射關系，使得動態圖軟件水印擁有更高的數據率，從而獲得更好的隱蔽性和魯棒性;⑤定義圖的Catalan數。該案例具有如下特點:①是計算機科學領域當前研究前沿熱點;②可以擴展到遙感影像數字水印，這有著學校特色與交叉學科優勢;③本案例主要涉及到圖論多個知識點，并可以擴展到代數結構部分，是理論知識與應用融合的典型案例。
2．計算思維訓練
計算思維是運用計算機科學的基礎概念進行問題求解、系統設計、以及人類行為理解等涵蓋計算機科學之廣度的一系列思維活動。計算機專業學生對計算思維的學習要求更高，這更有利于理解與應用計算機理論、方法與技術，更有利于開展創造性工作。離散數學課程的特點決定其在培養學生計算思維過程中將起到重要作用。例如，傳統離散數學教學中，在介紹圖論起源即K?nigsberg七橋問題時，常常僅作為歷史故事以及從建模角度引入圖論，而從計算思維角度，考慮從解決問題的層次進行分析，將清晰、抽象地描述該問題，并特別地該問題的解決方案表示為一個信息處理的流程。這樣，在保證相當充分且必要的理論學習的基礎上，展現給學生的是一個完整的計算機科學最為核心的思維方式，可以有效地訓練學生計算思維，并增強學習興趣。
3．本原性學科問題示例
下面是一部分“本原性學科問題”示例。①從數學到命題邏輯:介紹亞里士多德、布爾、弗雷格以及羅素等對數理邏輯發展所做的工作;②符號邏輯代數:學習了解布爾、維恩以及皮爾斯等在符號邏輯的提出、發展到成熟的過程;③哈夫曼編碼:介紹哈夫曼提出哈夫曼編碼的歷史背景與詳細過程，以及其應用模式;④網絡與生成樹:主要基于凱萊的工作介紹樹的提出、分析模式，特別是凱萊定理的提出與證明;⑤代數學中的抽象:拉格朗日、柯西、凱萊為早期群理論所做的工作;⑥七橋問題與歐拉回路:基于早期歐拉的論文完整呈現歷史上七橋問題的提出到求解的完整過程;⑦Icosian游戲于哈密爾頓回路:呈現Icosian游戲中的離散數學思想。
四、結論
關鍵詞：數學文化；數學軟件；數學建模
中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1674-7712 (2012) 14-0125-02
隨著社會的發展、科技的進步，我國對具有高素質、高技能型人才的需求日益擴大，尤其是近幾年來由高職教育培養出的大量高素質技能型專門人才具有一定的理論知識，又有較強的動手實踐能力更是受到社會各個行業的廣大需求。但是，高職教育的現狀還不能完全適應現代化的要求，特別是在高等數學這樣的基礎學科。在高職各個專業的人才培養方案中，高等數學課程既是一門重要的文化基礎課，又是一門必不可少的專業基礎課，對學生后續課程的學習、學生解決實際問題能力的培養和數學思維素質的培養都起著重要的作用，因此，根據現代高職教育的特點進行高職數學教學改革顯得十分必要。而現今高職數學的教學仍缺乏體現高職特點的課程教學大綱，教學所使用的教材也缺乏高職應有的特色，因此導致高等數學的教學內容很難滿足高職教育各專業要求，使得教學內容脫離與專業的結合，學生失去學習高等數學的興趣。為此我認為在高職數學教學中以“必需、夠用”為原則的基礎上適當調整高等數學的教學內容，使學生遠離公式、定理的證明、繁瑣的理論推導和運算技巧，多接觸到一些數學家的軼聞趣事和探索過程等數學相關知識和一些能直接應用數學解決實際問題課程或方法，從而激發學生學習高等數學的學習興趣。因此我覺得應從以下幾個方面對高職高等數學課程的教學內容進行改革與調整：
一、增設數學文化課程，激發學生對數學課程的興趣，提高學生數學素養及能力
數學文化，是數學作為人類認識世界和改造世界的一種工具、能力、活動、產品，在社會歷史實踐中所創造的物質財富和精神財富的積淀，是數學與人文的結合。從廣義上來說它包括數學史、數學美、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系。在高職教育中，大部分工科專業都開設高等數學課程，但數學是一門系統的學科，尤其是進入高等數學的學習階段，由于種種原因高職學生的學習就會出現聽不懂、跟不上的情況。即便是在高等數學的教學過程中采取了重結論輕證明、重計算輕推理，精簡教學內容等方法，由于受到課時較少的限制，學生也就是掌握一些高等數學的基本理論知識及簡單計算，在數學素養和能力方面的提高收效甚微。所以我覺得，開設數學文化課程是有必要的。數學文化課程教師主要講授數學在思想、精神和人文方面的一些內容，使學生體會到從小學到大學為什么要學這么多年數學，而學習了多年的數學課程與我們的生產、生活有著怎樣的密切關系。學生在多年的數學學習過程中學到了數學思想和數學精神，也是學生數學素養形成的過程，這是數學讓學生收益終生的。在高職教育中，高職學生數學基礎相對薄弱、參差不齊，而且數學抽象思維能力薄弱，對數學理論的理解能力較差，這并不影響學生學習數學文化，而且還可以通過數學文化課程的學習激發學生學習高等數學的興趣，提高學生綜合素質。如在介紹牛頓—萊布尼茲公式時，可以穿插介紹微積分的形成過程，講述微積分最大的貢獻者牛頓和萊布尼茲的成就，以及在兩位大師及之前的一些先驅者的主要貢獻、思維過程等。總之，在從教育的方面看，數學文化課程走進課堂，可以與高等數學的教學相互滲透，使學生在學習高等數學過程中受到數學文化感染，不再對數學產生恐懼感，使學生對數學產生興趣，能主動的學習高等數學，從而提高學生的數學素養和利用數學發現問題、解決問題的能力。
關鍵詞：初中數學；教學內容側重；教學落實
數學教學是義務教育甚至高等教育的重點教學內容，不僅僅因為數學是基礎學科，而且學好數學可以開發潛能，開拓思路，對提高全面素質有很重要的意義。我國的初中數學教學是義務教育階段最重要的內容，必須堅定不移實行義務教育。在新課程標準中，明確提出能力培養的重要性，促進學生全面、持續、和諧發展，需要不斷提高教師自身的能力，根據學生特點進行分層教學，為激發學習興趣，進行情感教育，不斷激發和培養學生的創新意識，這些要求都需要教育部門，根據政策要求采取合理的措施進行落實。
一、我國初中數學教學內容的側重
初中數學的教學任務首先是作為承上啟下的過度，加深小學的深入學習，有為進入高中學習打下基礎，是非常重要的一個階段。在教學過程中，教學內容已經不單單像小學一樣以教授課本知識為主，而是按照新課標及素質教育的教學要求，將側重點放在學習能力的培養上以及教學方法的改進以全面提高學生的素質。
1、側重于學習學習能力的培養
古人云：授人以魚不如授人以漁，書本上的知識永遠都不是學生自己的，只有經過認真的思考和實踐才能真正學會知識并得到應用，真正學會一種能力。學習能力包括許多方面，學習欲望是基礎，這是最基本的端正學習態度和控制注意力的能力，還包括應用能力和創新能力。因此誘發創新的動機和理論聯系實際的時間能力就十分重要。這首先是在教師具有創新和實踐能力的基礎上進行的，在適宜的教學環境中激發學生的興趣和參與意識，時刻思考如何能激發學生興趣，培養良好的學習習慣以及堅定的意志品質，創造機會結合教學內容進行實踐體驗，通過實際的認知感受到解決問題的趣味和成就感。
2、側重教學方法的改進
就我國現在的教學國情來講，仍有很多地區初中數學教育處于一種比較傳統的教學模式下，這種情況嚴重阻礙了我國初中數學教育水平的進步，教學方法亟待改進。因此在意識到這個問題之后，在新課程標準中明確提出改進教學方法的要求，著重解決教學模式落后的問題。
根據一線教師以及各界教育學者的經驗總結，總結出了一些創新有效的教育方法。包括分層教學法，情景教學法，情感教學法等等。分層教學法是基于教師對學生的關注，根據學生個體差異進行的差異教學發，以避免出現兩極分化，使生基本齊頭并進，全面進步。分層教學需要老師有非常強的責任心，利用課余時間充分了解每一個學生，分析學生之間的差異，鼓勵學生特長發揮。分層不光體現在課堂教學過程中，在課前準備的備課過程中就應有分層的意識，備好課是上好課的前提，擬定合理的教學內容時要按照一定的層次和難度級別進行，合理設計分組以便進行討論和總結，使學生之間也能有所促進和幫助，一定要注意把握教學內容的難易程度。在進行完備課之后，課堂中的分層就容易把握一些，主要是設置不同的學習目標和按計劃進行合理的學習活動，使所有學生都能找到自信，得到充分的發展。
二、我國初中數學教學方法的落實
我國初中數學教學已經取得了很豐碩的成果，尤其從各種國際數學競賽中的獲獎情況來看，我國初中學生數學能力已經處于國際領先地位，但仍然存在很多問題，比較突出的是高分低能現象，書呆子現象等等，這種現象的產生主要是沒有切實落實新課程標準中提出的對初中學生素質教育的要求，而且也沒有實現教育人士提出的教學方法的嘗試和實行。我國對教學方法的研究日漸深入，成果顯著，但是實際應用情況堪憂，因此目前迫在眉睫的問題是如何切實落實初中教學方法的理論。
1、提升教師知識水平和教學能力
首先應該從教師的能力入手。教師對于學生來說是人生的導師，不光體現在課堂教學上，教學方法和人格魅力也是很重要的地方。教師之所以為教師，就是因為教師能夠按照學生的需求將自身所學全部教給學生，而不是有些專家涂有知識而無法傳授出來。加之初中數學所處的特殊重點地位，提高教師的知識水平和教學能力是切實落實教學方法的基礎。學校在進行教師招聘以及崗前培訓時務必把好關，教師的質量決定教學的成果和學生的未來，因此決不可懈怠。積極鼓勵教師進行在職進修、參加各種講課比賽等活動，提高教學水平。
2、充分利用各種資源構建和諧的課堂氛圍
現在全國各地初中基本上都能覆蓋多媒體教學設備，但是實際教學應用率很低。經驗總結得出結論，多媒體教學是提高課堂參與度和激發學生興趣的最有效方法，對于構建和諧的課堂氛圍也十分重要，因此教師應充分利用教學資源，使學生感覺身處輕松和諧的學習氛圍中，最終全面開發學生各方面的能力。
3、建立數學第二課堂全面提升學生素質
學校多多舉辦數學競賽、師生交流等活動，鼓勵學生多提意見，多學習多創新，構建起一種培養數學能力的體系，以各種活動刺進學生數學素質的發展，強化課堂上的教學效果。
總結：
自從我國新課程標準以來，各界人士都十分重視，尤其對于初中數學教育者來說，分析數學教學內容的偏重十分重要，并且將這些重點部分付諸于課堂中落實下去更加重要。首先教師要提升自身的教學水平，并樹立起責任心，注意了解學生的個性特點，以便進行分層教學。善于利用教學資源，激發學生興趣，提高課堂效率，調動學生積極性。積極開展第二課堂，全面響應素質教育的號召，將新課標初中數學落到實處。
參考文獻：
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[4]閆新峰.數學課堂中的有效提問與合理引導[J].文理導航（下旬）.2010（10）
【關 鍵 詞】 數學；小學；教學；分數
數學是一門嚴謹的、邏輯性強、系統性強的學科，前后知識聯系緊密，在課堂教學中可以展現出知識結構的層次美。現以“分數的初步認識”一課教學為例，談談如何理解和把握數學教學內容。
一、明確課標要求，把握總體目標
在一些公開課中，教師為了突出過程與方法、情感態度與價值觀的教學目標，盡其所能地創設出各種生動的教學情境，安排大量的游戲、操作、自主探索與合作學習等活動，課堂上學生興趣高漲，氣氛熱烈。然而在“熱鬧”之余，往往看不到教師在知識與技能形成的關鍵處給學生以必要的引導和點撥，學生在實踐活動之后缺乏理性的總結歸納。
如在學習“分數的初步認識”一課后，學生僅僅認識了是遠遠不夠的。筆者在確定本節課的教學目標時，更加關注學生的學習過程及情感態度與價值觀：1. 使學生初步認識幾分之一，會讀寫幾分之一；2. 通過小組合作學習活動，培養學生的合作意識、數學思考與語言表達能力；3. 讓學生通過動手操作、觀察比較等活動，在愉快的學習環境中積極主動地認識分數。這三個教學目標并不是一個個獨立的，它融合在學生的操作活動之中，以活動促進知識的掌握、方法的體驗、情感態度的培養。
二、結合情境教學，理解教學內容
學生的求知欲總是體現在具體問題的情境之中，使原有知識經驗與新接受的信息不相適應，產生解決矛盾的強烈愿望，促進新舊知識的重新組合。筆者在課始設置了一個秋游分食物的情境，有意引發知識矛盾。“秋天是一個美麗的季節，老師真想和同學們在秋天漫步，穿過田野，跨過小溪，一起去感受那習習秋風。其實，在同學們喜歡的秋游活動中蘊藏著許多數學知識，讓我們一起去看看吧！為了確保活動安全，老師把同桌兩個小朋友分成一組，而且為每一小組的同學都準備了許多好吃的，如有8顆奶糖、4瓶礦泉水、2個面包、1個蘋果等。如果讓你們自己來分，你們打算怎樣分這些食物呢？”這樣的情境貼近生活，讓學生從日常生活中感知分數，有利于理解“平均分”的概念，激發學生的學習愿望和參與熱情。分數起源于“分”，是人們在處理“分物品”的長期經驗中形成的。教學中鼓勵學生合作交流，促進他們有效地開展建構活動，真正成為學習的主人。“只有一個蘋果怎么分呢？”由此引發沖突，讓學生體會到用已學過的數無法表示“一半”，從而自然地引出新的數――分數，激發了學生學習的主動性。這樣在情境中，能更好地讓學生體驗和感悟分數的產生過程，理解分數是以平均分為基礎的。
三、構建學習模式，把握內在聯系
數學中的各種基本概念都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的。教師可以根據題目條件，給予題中設計的概念及數學關系賦予恰當的實際意義，構建出數學學習的具體模式，進而尋找解決問題的途徑。
【環節一】
師：讓每位同學得到的同樣多，這樣的分法叫做“平均分”。同桌每人分到2瓶礦泉水、1個面包，可是蘋果只有一個，每人應該只能分到半個蘋果，怎樣把這半個蘋果表示出來呢？“一半”能不能用以前學過的數來表示？請同學們動動腦筋，用其他形式表示出來，并填到表格里。
為了讓學生了解分數的產生過程，讓學生動腦筋用其他形式表示半個蘋果，充分體會并理解分蘋果時的產生過程，加快生活情境數學符號化的過程。由研究入手，讓學生初步構建分數學習的模式，然后通過對兩個個蘋果大小的比較，進一步深化認識幾分之一的含義，同時為進一步探究其他分數埋下伏筆。
數學內容系統性強，知識之間聯系緊密，不僅有縱向聯系，還有橫向聯系。注意每個環節之間的過渡銜接，是設計教學過程時應反復考慮的。教師在教學中要有整體觀念，不斷地使新舊知識形成網絡，為學生建立起知識的整體結構。
【環節二】
師：同學們已經認識了，那秋游圖中還有沒有像這樣的分數呢？
生：在鴿子槽中找到，在積木上找到……
當學生對分數有了初步的認識之后，引導學生的思維回到課始的秋游圖上，前后呼應，讓學生運用剛學的數學知識自己觀察，尋找圖中的分數，可以達到舉一反三的目的。
四、理清操作要點，展示學習成果
“分數”對學生來講是抽象的。因此，筆者在本課教學中應時刻注意將分數的認識與圖形的操作活動相聯系，發揮動手操作在學生主動建構中的積極促進作用，使學生在操作活動的基礎上進行深入探究。
【環節三】
師：把一個蘋果平均分成4份，其中的一份是這個蘋果的，那你們能用手中的正方形紙折出嗎？（學生操作后交流展示，如下）
本節課通過折一折、說一說、涂一涂等操作活動，加深學生對分數的認識，深刻理解分數的意義。這樣從生活實際中聯系數學，從身邊找分數，提升學生認識分數的能力，體現了“數學知識來源于生活并服務于生活”的理念。
教材是教學的載體，我們要利用好教材，充分挖掘教材中的創新因素，將它與教學內容、教學途徑等有效地結合起來。
【環節四】
師：請同學們把以下圖形分類。
師：每人選一個可以用表示涂色部分的圖形，在它上面再涂上一份，使它變成，說明也可以用來表示，同時進行驗證。
……
把圖形進行分類，既可明確平均分的重要性，培養學生迅速準確的判斷能力，又能使學生進一步理解和的意義，達到復習鞏固的目的。最后一個環節通過學生自己選擇、涂色、驗證，在愉快寬松的氣氛中學會了分數知識，符合兒童的思維特征。通過展示學生作品，為學生提供展示自己、體現個性的良好機會，使學生的觀察、思考、創新能力得以發展。
課堂上要讓學生真正理解數學知識，建立真切的數學體驗，就需要對整個探究活動進行總結反思。在一堂課快要結束時，可讓學生思考：這節課我們學習了什么？你有什么收獲？讓學生暢談感受、收獲，培養他們的概括能力和語言表達能力。通過總結和反思，學生不僅回顧了學到的知識，而且將探究活動中的體驗上升為方法和策略，成為學生以后解決數學問題的基石。
本節課如果學生只初步理解了分數的意義，認識了，顯然沒能突顯課堂教學的成效。課堂教學的目標是要讓學生通過學習主動建構知識，不斷提升數學思維能力。為了讓學生的數學素養繼續得到提高，數學教學中必須重視以下幾個方面：
1. 重視學生思維的形成和發展過程。教師要遵循學生認知、思維、發展的特點，精心安排教學過程中的每個環節，從具體到抽象、感性到理性引導學生對實例進行分析，發展學生的認知結構。通過設計一系列的操作活動，讓學生如抽絲剝繭般一步步地獲取知識，主動建構，內化所學的知識。
2. 重視多種教學方法并能靈活運用。教師可采用讓學生動手操作、小組合作學習、設計啟發性問題等方法，優化教學過程，做到有序、省時、高效，提高學生的數學素質。長此以往，相信學生能夠真正從小組合作學習中形成良好的學習習慣，獲得有益的知識，這樣才能體現小組合作的真正價值。
3. 重視數學與社會生活的密切聯系。教師要充分利用學生已有的生活經驗，引導學生把所學的數學知識用到現實中去，體會數學在現實生活中的應用價值，從而培養學生應用數學的意識和綜合運用知識解決問題的能力。
【參考文獻】
[1] 劉娟娟. 小學數學教學技能[M]. 上海：華東師范大學出版社，2011.
一、選擇現實性的數學材料，讓學生學習真實的數學
教師要深入研讀教材，把教材內容化為現實生活中的數學材料，讓學生在不斷的對外部材料感知、思考、加工的過程中，建立起數學模型，體驗到數學就在身邊，數學就在生活之中，增強學生對數學服務于生活的理性認識，讓學生學習有價值的數學、真實的數學。如，《平均數》的教學，教師可以把學生的身高或者考試成績作為教學素材，讓學生學習真實生動的數學。教師：“同學們之間都非常熟悉，我問同學們一個問題，這次單元測試男同學成績好還是女同學成績好？”學生紛紛議論。有的說男生成績好，有的說女生成績好。教師：“同學們要說出男生成績好，還是女生成績好，要有事實依據，應選擇怎樣的依據呢？”生：“應該把全班26名男生的分數相加，總數除以26，就是男生的成績。把22名女生的分數相加，總數除以22，就是女生的成績，再比較這兩個數值，就知道男生成績好還是女生成績好了。”教師和學生一起隨著學生自報考試分數逐個男生相加，逐個女生相加，最后得出了結果。教師指導學生：“我們今天的活動過程就是求平均數的過程。”學生在充滿現實性的數學材料中，運用了分析、歸納、推理，形成了自己的解題策略。教師進一步引導學生思考：“我們班身高152厘米的張同學，去平均深度145厘米的水池中學游泳，有沒有危險？”教師再度引導學生回歸生活，用數學的思維方式去解決生活中的現實性問題。
二、選擇富有挑戰性的學習材料，讓學生學習創新的數學
《義務教育數學課程標準》指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的。這些材料要有利于學生進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理和交流等數學活動。”教師要挖掘教材內容，選擇富有挑戰性的學習材料，構建起富有挑戰性的數學觀察，讓學生把現實問題數學化，建立起“問題―探究―解決問題―新問題―再探究”的創新式學習過程，培養和發展學生的數學創新能力。如，《利息和利率》的教學，教師可以讓學生親自到銀行或者其他金融機構參觀學習，然后把現實中具有挑戰性的學習材料引入課堂。教材中教例只是一定數額的存款到期后按銀行的利率、本金是多少，利息是多少的計算。教師可以創設情境，假如每個學生現在手中有現金2萬元，五年后比較誰獲得的利息多，誰繳納的利息稅多，誰就為國家作的貢獻多。于是，學生紛紛選擇不同的存款方式進行存款，以獲得最佳的效益。按銀行現行利率一次存定期五年可獲得利息：20000×5.225%×5=5225元；先預存定期二年，再存三年到期獲得利息：20000×3.75%×2=1500；21500×4.25%×3=2741.25元；其他的幾種存法都不如一次存定期五年獲得的利息多。但是學生還考慮到如果有急事需要從銀行取錢用，那么則不如分階段存獲得的利息多。挑戰性問題的設置，培養了學生數學思考的能力，能運用所掌握的數學知識去解決現實生活中的問題，學用得到有效的結合，體現了新課程標準所倡導的“人人學有價值的數學”“人人都能獲得必需的數學”的教學理念。
三、選擇生動、鮮活的學習材料，讓學生學習充滿生命力的數學
關鍵詞 課堂教學 小學數學 優化結構
一、教學內容的優化
1、注重基本概念教學。
嚴密的邏輯性和系統性是數學的特點之一，概念是思維的基本形成，形成概念是掌握教學基本知識和基本技能必所要條件。如果概念明確，才可以作出合乎邏輯的推理，在教學中，教師能否以基本概念、原理為中心，深入挖掘教材中的重點難點所包含的豐富知識，揭示知識間的內在聯系，直接關系到學生對知識的系統掌握。如在三年級下冊中教學《面積和面積單位》時，教師問：書本表面的大小就是書本表面的面積，那么課桌表面的大小可以說成什么？物體表面的大小可以說成什么？平面圖形的大小可以說成什么？這樣做使具體事物的個別特點逐漸消去，留下事物的共性特點，再讓學生用比較科學規范的語言描述出面積的概念，再解釋關鍵詞義，增強概念的清晰度。這樣把概念回到具體事物中，使概念具體化，如讓學生指出所配鏡框玻璃的面積，用彩筆涂出三角形的面積，觀察實物模型，引導學生區別長度單位和面積單位，使學生對概念的理解達到更為清晰的程度。
2、注重知識結構教學。
小學數學知識是由淺入深，由簡到繁，由易到難，循序漸進。針對這種結構特點，在課堂教學中，處理好新舊知識之間的聯系，抓準學習新知識的生長點，是學生循序漸進地將基本知識學到手的一個重要條件，引導學生在舊知識的基礎上掌握新知識，并通過學習新知識，復習舊知識，可使學生對新知識的接受不感到突然，又使舊知識不斷得到加深與鞏固，收到溫故而知新之效。例如“求一個數是另一個數的百分之幾”這類應用題時，要幫助學生復習好有關的分數應用題。利用分數、百分數應用題之間的密切聯系，利用知識的正遷移，合理安排課堂教學。先讓學生練習一道題：李明有8張郵票，張小強有5張郵票，求李明的郵票是張小強的幾分之幾？張小強的郵票是李明的幾分之幾？通過練習，總結出規律：求甲數是乙數的幾分之幾（或幾倍），就用甲數除以乙數。即：甲數÷乙數=甲數是乙數的幾分之幾。然后出示例題：六年級有學生80人，五年級有學生50人，五年級人數是六年級的百分之幾？學生根據求甲數是乙數的幾分之幾的規律列式計算，最后將分數化成百分數，即求出50÷80=5÷8=62.5%。這樣在傳授新知識過程中，緊緊抓住“求甲數是乙數的幾分之幾”與“求甲數是乙數的百分之幾”兩種應用題的共同結構，利用遷移規律，有利于學生牢固的掌握新知識。優化教學內容，教師緊緊抓住知識的內在聯系，掌握教材的整體結構，吃透教材，用活教材，使學生獲得最大發展。
二、教學過程的優化
1、教學方法的選擇。
不同的教學目的、教學內容、教學對象的心理特點影響著數學方法的選擇。只有采用恰當的教學方法，才能卓有成效地完成教學任務。在選擇教學方法時，由于每種教學方法都有一定的局限性，因此還應注意到多種教學方法穿行，達到教師教得生動活潑，學生學得輕松愉快。給學生自由探索的時間和空間，在課堂教學中，教師是教學活動的指導者和參與者；學生是數學知識的建構者。給學生充分思考時間和活動的空間，嘗試成功的喜悅，使課堂教學真正成為學生自主活動和探索的天地。如“圓面積的推導”，課本是把圓平均分成16份，然后拼成一個近似的長方形進行推導的。顯然按照書本的方法進行探索，學生的思維過程得到了一定的限制。因而在教學時，先引導復習已學過的平面圖形公式及推導方法，然后讓學生自己動手、動腦，用剪、拼、擺方法把“圓”轉化為近似于已學過的平面圖形，接著組織學生小組討論，并在全班進行交流。結果，學生把圓平均分成了8份或16份，分別拼成了近似的長方形、平行四邊形、三角形、梯形。就這樣，學生利用已學過的平面圖形公式推導出了圓的面積公式。顯然，這樣的教學更具探索性，可使學生多角度靈活思維，學得更為主動活潑，也能促進學生不斷地追求、探索、創新。
在教學中，應采用各種教學方法相結合，如在教學“平行四邊形和梯形”，可選擇講解法，演示法；在問題解決教學中可選擇討論教學法、講解法、實踐練習法；針對低年級學生注意力不能長期集中，興趣多變這一特點，選擇的教學方法應注重直觀性、趣味性、靈活性。所以要善于綜合使用各種教學方法，把各種方法有機地結合起來，才能使學生生動活潑地學到知識。
2、訓練層次的設計。
由于每個學生的素質、學習態度等各不相同，這種差異是客觀存在的。因此教師必須針對不同學生，提出不同的要求，進行不同的施教方法。否則要求過高，差生消化不了；要求過低，優秀生不“解渴”；一般學生也將隨遇而安，不求進取，教學質量自然不高。
關鍵詞：中職數學 一元二次不等式 重新 整合 圖象 數形
一元二次不等式的解法是中職數學教學的重點和難點之一。從內容上看，二次不等式、二次方程與二次函數密不可分，該內容涉及的知識點較多且應用廣泛。從思想層次上看，它涉及到數形結合、分類轉化、方程函數等數學思想，這些內容和思想將在中職數學中產生廣泛而深遠的影響。
在教學過程中，我發現數學是中職學生較難掌握的一門學科。因為中職學生的數學基礎差，而且數學對于大多數學生來說是一門比較枯燥的學科，學生畏難情緒較重。解一元二次不等式是中職學校學生數學學習過程中普遍遇到的難題，然而,它與集合、函數、曲線的圖象等內容都有很大的聯系，對我們整個職業技術學校的數學教學來說，既是基礎又是工具。因此解一元二次不等式就成為搞好數學教學的重要內容之一。
解一元二次不等式傳統教學方法是：
第一步：拿到一個一元二次不等式,首先就是判斷它有沒有根，所以先用一元二次方程根的判別式來判斷根的情況
(1)>0方程有兩個不相等的實數根．
(2)＝0方程有兩個相等的實數根．
(3)
第三步：a
傳統的解不等式的教學方法的弊端就在于，中職學生的數學思維能力差，他們往往糾結在上，又要考慮有幾個根，又要考慮一元二次不等式是大于零還是小于零的問題，還要考慮a是大于零還是小于零的問題，這幾個問題同時出現時，除了個別成績好點的學生還能掌握外，其它學生就是靠死記硬背來解決問題，甚至有的學生覺得太難，就干脆放棄不學。
我運用探究式的學習方法，重新整合了教學內容，使學生對一元二次不等式的學習更有興趣和更有效。
簡單的說：就是利用二次函數的圖象，找出一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系，進而得到利用二次函數圖象求解一元二次不等式的方法。
第一步：讓學生用描點法畫出二次函數的圖象（包括＞0、=0、＜0三種情況）。本課的目的是讓學生知道，二次函數y=ax+bx+c( a>0)的圖象及一般特征。
第二步：本課的目的是讓學生了解二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系，并通過直觀的圖象迅速的找出一元二次不等式的解的取值范圍：
利用幾何畫板軟件強大的作圖功能，變換a、b、c取值，讓學生非常直觀的看到圖象中紅色(Y>0)、白色(Y=0)、藍色(Y
第三步：本課的目的是讓學生學會用公式法求圖象與x軸有兩個交點x、x，并筑固上次課的關聯關系。
第四步：本次課的目的是讓學生學會把一元二次不等式中，當a0的辦法，規范學生的解題步驟。在本次課中，通過圖象解法滲透數形結合、分類化歸等數學思想，培養學生動手能力、觀察分析能力、抽象概括能力、歸納總結等系統的邏輯思維能力，培養學生簡約直觀的思維方法和良好的思維品質。
通過整合內容，學生的解題思路清晰，目標明確，不再為太多的框框所困擾，教學效果顯著。在教學過程中，教師有意識地向學生滲透具體與抽象、聯系與轉化、特殊與一般、個性與共性、事物之間普遍聯系的辯證唯物主義的觀點和方法，激發學生學習數學的熱情，培養勇于自主探索的精神和勇于創新精神。不但傳授了課本知識，而且培養了學生主動觀察、主動思考、親自動手、自我發現等學習能力，增強學生的綜合素質，從而達到教學的終極目標。
參考文獻：
[1]汪江松．高中數學解題方法與技巧．湖北教育出版社．
【關鍵詞】數學教學內容知識；教學知識；數學教師專業發展
一、數學教學內容知識（MPCK）概述
（一）MPCK內涵
Shulman針對完善教師資格認證體系首次提出“學科教學知識”（PCK，Pedagogical Content Knowledge），確保教師認識到學科知識在教學過程中的重要性.學科教學知識（PCK）具體表現在教師通過類比、舉例以及多媒體演示等多樣化方式將專業性的學科知識轉化為學生理解范圍內的學科教學內容.[1]本文認為MPCK（數學教學內容知識）是指數學教師用學生理解范圍內的方法表述、呈現和解釋某一種特定數學專業學科知識.
（二）MPCK結構
對于中小學數學教師來說，數學教學內容知識主要由MK（數學知識）、PK（教學法知識）以及CK（內容知識）三部分融合而成.其中“數學知識”包括對數學的認識、數學專業學科知識、數學方法以及數學歷史；“教學法知識”包括對教育的認識、教育理論、課程教學方法等；“內容知識”包括學生學習認知與非認知因素以及學生發展.數學教學知識結構如下圖：
二、數學教學內容知識（MPCK）對數學教師專業發展的意義
（一）發展數學教師專業教學能力
作為數學教師專業發展的核心，數學教學內容知識（MPCK）豐富了數學教師專業知識內容.教學能力較強的中小學數學教師不僅僅需要掌握數學知識，更需要融合性地掌握教學法知識以及學生相關知識.作為數學教師專業發展的新視角，數學教學內容知識（MPCK）的多少對數學教師專業教學能力的大小有著重要意義.
（二）提升數學教師課堂教學質量
在數學教學實踐中，教師構建的數學教學內容知識（MPCK）逐漸內化為教師用于認識評價教學的模型.[2]作為中小學數學教師，需要了解某數學專業性知識在課堂上應如何組織、呈現給學生，以及學生學習新知識時的重、難點，僅僅懂得數學知識并不能帶來良好的課堂教學效果.針對中小學數學教師特點，本文構建了一種MPCK發展的新途徑――MKMPCK.
三、數學教師專業發展新途徑――MKMPCK
（一）MKMPCK知識轉化的本質
數學教師所擁有的扎實數學知識（MK）是數學教學學科特色所在，一名中小學數學教師具有專業性的數學知識對數學教學的有效性至關重要.教師教學實踐中MK有“載體”作用，是教育學、心理學等知識附著的“載體”.[3]根據我國中小學數學教師經過長時間的數學專業學習均具有較扎實數學專業知識的特點，以MK為邏輯起點實現數學教師所必需的MPCK的豐富與發展，是有效的數學教師專業發展新途徑.
（二）MKMPCK知識轉化的過程結構
由于教師知識結構中兩成分間的互相轉化（MKMPCK）有獨立性、多樣性以及情境實踐性等特征，本文根據Shulman的知識轉化理論，認為MKMPCK轉化的過程是教師形成教學認知模型、教學知識不斷整合創新，以及顯性知識向隱性知識內化的過程.知識轉化模型如下圖：
數學知識向數學教學內容知識轉化可以分為三個階段：解釋、表征以及適應.[4]首先在教學實踐中數學教師批判性反思教學內容，解釋數學教學主題，其次根據自身反思以及實踐經驗尋求多種方式以表征信息，最后通過不同信息反饋來調整教學方式、內容以及素材等，旨在將學生帶入數學教學情境中.因此，我們認為MPCK的不斷完善與發展將逐漸成為數學教師專業發展的新途徑.
【參考文獻】
[1]Shulman L S.Knowledge Growth in Teaching[J].Educational Researcher，1986（2）：4-14.
[2]袁維新.學科教學知識：一個教師專業發展的新視角[J].外國教育研究，2005（3）：10-14.
