時間：2023-03-17 17:58:17
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發表網為您精選了8篇高等數學認識論文，愿這些內容能夠啟迪您的思維，激發您的創作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
關鍵詞：極限思想；發展；符號表達
極限是高等數學中起著基礎作用的概念，在某程度上可以說高等數學的整個體系都建立在這一概念的基礎之上. 而極限思想則是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。極限思想作為一種數學思想，從其遠古的思想萌芽，發展到現在完整的極限理論，其發展道路上布滿了歷代數學家們的嚴謹務實、孜孜以求的奮斗足跡。也是數千年來人類認識世界和改造世界的過程中的一個側面反應，亦是人類追求真理、追求理想、創新求實的生動寫照。極限思想的產生與完善是社會實踐的需要，它的產生為數學的發展增加了新的動力，成為了近代數學思想和方法的基礎和出發點。
極限思想是微積分學的基本思想，數學中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都需要借助于極限來加以定義。 微積分則是現代數學的基礎，要學好微積分，就應該了解極限思想，學會用極限思想來理解這些概念，進而把微積分學知識應用于日常生活和生產實踐中，體會數學源于生產實踐，服務于生產實踐的事實。但是，極限思想較為晦澀，一向被視為是一難于理解的數學概念，若在教學中，加入一些涉及極限思想的故事及發展歷程，則會有利于學生了解極限思想與微積分學之間的關系，從而加深對其概念的理解。
極限思想的發展，總數起來可認為有三個階段：
階段一，小荷才露尖尖角，樸素極限思想的出現。與所有的科學思想方法相同，極限思想同樣是社會生產實踐的產物。追溯到古代，戰國時莊子與其弟子所著的《莊子》一書中的《莊子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。” 即：若取一根一尺長的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永遠也不能取盡。此說法認為物質是可以無限分割的，其中蘊含了樸實的極限思想，具有很高的學術價值，但卻偏重于哲學的角度，與數學的聯系還沒有建立。而三世紀的劉徽的 “割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，公元五世紀祖沖之計算圓周率的方法、公元前五世紀希臘學者德漠克利特為解決不可公度問題創立的“原子論”、公元前三世紀古希臘詭辯學家安提豐在求圓面積過程中提出的“窮竭法”等等問題中，在蘊含了最原始的樸素的極限思想的同時，開始從數學角度思考問題。
16世紀時，荷蘭的數學家斯泰文在三角形重心的研究中，改進了由歐道克斯提出的“窮竭法”，借助幾何圖形的直觀性，利用極限思想考慮問題，并在無意中“指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向”，但卻沒有脫離當時的社會實際。
階段二，極限思想在數學上的正式提出，改善和發展階段。極限思想的進一步發展與微積分的建立緊密相聯。16世紀的歐洲，資本主義正處于萌芽時期，生產力得到極大的發展。隨著生產力的發展，生產和技術中出現了大量的問題，只用初等數學的方法根本無法解決，例如描述和研究變速直線的過程、曲邊梯形的面積等等。這些問題的解決需要數學突破只研究常量的傳統范圍，這些是促進極限發展、建立微積分的社會背景。
當牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立微積分時，遇到了邏輯困難。牛頓在描述作變速運動的物體在某一時刻t時的瞬時速率時，用路程的改變量S與時間的改變量Δt的比值ΔS/Δt表示運動物體的平均速度，當Δt無限趨近于零，該比值無限趨近于一與Δt無關的常數，該常數即物體在時刻t時的瞬時速度，并由此引出導數概念和微分學的基本理論。在敘述瞬時速率時，他已意識到了極限概念的重要性，也想以極限概念作為微積分的基礎，初步提出了極限的直觀性定義：“如果當n 無限增大時，如果an無限接近于常數A，那么就說an以A為極限。”但牛頓給出的極限觀念與荷蘭斯泰文同樣也是建立在幾何直觀上的，這種直觀的定性解釋并沒有給出極限的嚴格表述，也沒有解決當時的數學危機，因此在此基礎上，同時代及后起許多數學家對極限的概念進行了完善。
也是因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才會在那個時代受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果說是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，卻又不能把包含著Δt的項去掉。這就是數學史上所說的無窮小悖論。在攻擊微積分學的大家中，英國哲學家、大主教貝克萊的攻擊最為激烈，他認為微積分的推導是“分明的詭辯”。
貝克萊激烈攻擊微積分的原因有兩個，首先他要為宗教服務，其次也是因為當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，即使牛頓自己也無法清楚地解釋極限概念中的混亂。事實證明，嚴格極限的概念，建立嚴格的微積分理論基礎，既是數學本身發展的需求，也有認識論上的重大意義。
階段三，極限概念的定量化和數學符號表達階段。這階段主要指由柯西精確定義，維爾斯特拉斯用符號精確表達極限的階段。
19世紀，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當一個變量的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”。盡管這個定義是建筑在前人工作的基礎上，但還是相對完整地闡述了極限概念及其理論。但是這個定義仍然欠粗糙，說用語句中的“無限接近”、“要多小就有多小”等都只能給人一種模糊的直覺，并沒有徹底擺脫殘存在頭腦中的幾何直觀印象。
19世紀后半葉，德國的維爾特拉斯則提出了關于極限的純算數定義，并給出了沿用至今所用的極限的符號。
極限的定義經過幾代人的不斷完善、嚴格，最終解決了微積分理論發展期所面臨的強大邏輯質疑，給微積分學提供了嚴格的理論基礎。也正是如此，數學由常量數學正式進入變量數學的時代，極限的數學定義，沿用至今，成了微積分發展的重要里程碑。
極限思想在現代數學和物理學、天文學、化學甚至經濟學、建筑學等學科中都有著廣泛的應用，這也是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。極限又是微積分的基本概念，是微積分學的直接基礎，也是微積分學區別于常量數學的重要工具，二者是相輔相成、密不可分的。極限思想擴展了數學能夠分析研究的范圍，促進了微積分的發展和完善，而微積分學在各個學科中的應用也是源于極限思想這個堅實理論基礎。
參考文獻
[1]白淑珍：《對極限思想的辨證理解》[J]；《中國校外教育》2008（02）：39-40
[2]李文林.數學史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255
[3]錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京：北京師范大學出版社，1999：319
早在20世紀80年代初，國內就有法律人倡導關注法律經濟學,?但幾乎沒有引起多大反響。主要原因在于其所涉議題并非肇始于上世紀五六十年代的國外法律經濟學思潮而是有關經濟基礎和上層建筑關系的政治經濟學原理對于法學研究的意義和作用，其在國內首創“法經濟學詞，也有點名不副實。②80年代末90年代初，三聯書店上海分店和上海人民出版社聯合推出的“當代經濟學文庫”首次譯介了一批法律經濟學經典,③并很快被經濟學界所吸收消化。不過，經濟學界擅長用數理工具分析法律制度、法律問題,不乏嚴謹漂亮的邏輯推演論證之作，但大多缺乏對于我國法制運行狀況特別是司法裁判實踐過程的真切了解,故仍難免不陷入宏大敘事式的泛泛而論或者類似于科斯所稱“黑板經濟學”的“黑板法學”窠臼，離開約束條件或者約束條件一旦發生變化，就不能很好地解釋和解決中國現實生活中的真實法律現象，④其功利性訴求也備受垢病，⑤在法律人眼里似乎華而不實、中看而不中用。同時,法律人因受制于傳統的道德評判理路以及并不精通數理分析短板的雙重影響，不僅對經濟學侵入法學領域所帶來的革命性變革難以應對，進退失據,而且對法律經濟學的一些基本原理以及具體規則也處于似懂非懂、云遮霧障的狀態之中，能夠深切領會法律經濟學開山鼻祖科斯理論真諦的，更屬鳳毛麟角。筆者曾在先前發表的論文中列舉一例?:前些年北京大學蘇力教授從案例研究入手的法律經濟學論文《〈秋菊打官司〉案、邱氏鼠藥案和言論自由》⑦甫一問世，就在國內法理學界引起了極大反響。但無論是支持者還是反對者，均大多對科斯法律經濟學的原理原則不甚了了，以訛傳訛、不得要領的論著隨處可見，有的甚至完全背離而渾然不覺。拙文雖曾對此作過仔細分析,但也許偏重文本解讀，對于并不熟悉相關文獻的讀者可能難窺真貌,故迄今仍是應者寥寥。筆者另文涉及公司沖突權利有效配置的命題,則由于部門法理學的局限性，未及充分討論法律經濟學原理原則在法律學界的一般化、普適化問題。?而這正是本文的主旨所在。
筆者認為,法律人盡管也都承認科斯對于法律經濟學的基礎性貢獻，但對其兩篇諾貝爾經濟學獎獲獎論文所創新制度經濟學包含的產權理論、交易成本理論、企業理論和制度變遷理論與法律經濟學之間的關系恐怕不是十分清楚，對所謂科斯定理的內核也未必真正理解。當然,假如國內大學教育能夠養成法科學生精通高等數學和經濟學的能力，所有法律人將無須尋找從經濟學通向法律學蹊徑的法門，而是可以挾數理分析優勢坐上最大化訴求的直通車，本文的論題也將失去意義，可惜這并不現實。而且，即使教育部立即改革法學專業課程設置,增加高等數學課程數量，增設一批經濟學主干課程，已經走上社會的法律人也無緣直接受益，以徹底改善自己的知識結構。法律人自我救贖的可行辦法似乎需要揚長避短，盡量發掘科斯法律經濟學富礦，并將其理論內核推向一般化、普適化。除了著力理解科斯定理的真諦外，有關將資源配置轉換為權利配置的原創思想以及總體的、邊際的和替代的綜合研究方法，張五常對于合約選擇局限條件的精妙概括，或許能夠引領法律人達到曲徑通幽的目的,借此還能在法律經濟學與利益衡量論之間架起一座橋梁，并發揮法律經濟學在推進我國法學理論、法制建設科學化進程中的應有作用。
本文在以引言導出主題后，首先對法學方法論與經濟學方法論的優劣稍作比較，其次探討科斯經典論文中的法律經濟學內核，再次嘗試用不含數理分析的科斯原創性法律經濟學思想解析本人較為熟悉的典型公司糾紛，最后用結語將前述分析方法擴及當今社會熱點法律問題、甚至一般人類行為并結束全文。
二、法學方法論與經濟學方法論的簡單比較
法律經濟學的一大特色是將經濟學與法學勾連起來，開拓了法律解釋的一番新天地,甚至引起法學研究的一場革命,其根源在于經濟學方法論相較于法學方法論的獨到優勢。盡管上自馬歇爾?下至波斯納對此均有論述,?但仍有必要稍作比較以加深印象。
從亞當斯密為代表的古典經濟學，經馬歇爾為代表的新古典經濟學，再到凱恩斯、后凱恩斯時代以來的現代經濟學,經濟學已經呈現出流派繁多、百花齊放、精彩紛呈的局面，尤其是新制度經濟學異軍突起，為法律經濟學奠定了堅實的理論基礎。相較于傳統法學在方法論上擁有統一語境及一以貫之的分析工具的劣勢，科學化已經得到舉世公認的經濟學,正是法律經濟學彰顯其帝國主義擴張本性的根本原因。對此，很多法律人也許并不同意，但確實是一個不爭的現實，法律人已經無法熟視無睹，唯有積極應對才是上策。撇開其他論證方法，我們只要隨手找幾本兩個學科的經典讀物作比較,就可見一斑。
龐德為享譽國際的著名法學家。他在《法理學》(第一卷)中將法學或者法理學歸納為：“有關通過法律或者借助法律達到社會控制目的的科學,詳言之，這是一門有關文明社會中以司法及行政機關對人類關系的規范裁決為手段對權益加以保護的科學。”④而英國的丹尼斯勞埃德等則認為,法理學的“工作”之一是提供法的認識論種關于法律領域的真正知識的可能性的理論。①前者僅是對英美判例法的描述，故并不周延，后者不能揭示“法的認識論”的特殊性。據此,我們無法窺見法學或者法理學的真實面貌，即它是干什么的，又能夠干什么?國內具有代表性的法理學教材的表述稍微清楚一點。如張文顯認為：‘法學是以法律現象為研究對象的各種科學活動及其認識成果的總稱。”②葛洪義的解釋則是：“所謂法學，就是研究法律現象的知識體系,是以特定的概念、原理來探求法律問題之答案的學問。”?顯然，這樣的解釋仍然無法將法學與其他社會科學區分開來,不僅初學者不知所云，即使專業法律人士，恐怕也是不得要領。國內高校600多個法律院系大一開設的法理學課程，能夠聽懂的學生寥寥無幾，有的院系不得不將其移至高年級開設。
以民法解釋學為代表的法學方法論(包括法律邏輯學中的三段論)對于訓練法律人的思維意義重大，只是有時顯得過于機械,往往無法適應變動不居的社會現實，解釋不了新的法律現象;發源于德國的利益法學派無疑對傳統的法律解釋學具有很好的補充作用，但難免有點抱殘守缺、捉襟見肘;近年譯介到國內的拉倫茨的〈法學方法論》和阿列克西的〈《去律論證理論》仍未從根本上改變上述局面;?日本的利益衡量論影響日廣，也是時勢所然。⑤后者在具體應用時，多少會接觸到經濟分析，但重點顯然不在用經濟學方法取代法學方法,且似乎與科斯理論毫無淵源，故難以入流即無法達到能夠用規范的經濟分析進行科學化表述的程度。舉例而言，涉及我國社會制度改革話題，經濟學界長期處在獨步天下的顯赫地位,法律人幾乎沒有多少話語權。法學學科優勢不及經濟學,進而出現經濟學界可能解釋所有法律現象、法律制度，而法律人無力侵入眾多經濟(學)領域的局面，或許是這一現象背后的一個深層原因。
經濟學的情況則完全不同。只要是正規的經濟學教科書,對于經濟學的定義均是簡單明了、通俗易懂的。在此僅舉近年譯介到國內的幾部:如羅伯特S平狄克、丹尼爾L魯賓菲爾德的〈微觀經濟學(第7版)》認為:微觀經濟學“研究的就是稀缺資源的配置”。其進一步解釋道:在現代經濟中，消費者、個人和企業在配置稀缺資源時具有很大的靈活性和多種選擇。微觀經濟學描述消費者、個人和企業所面臨的權衡取舍(trade-ff),并且解釋這些取舍具體是怎樣做出的。⑥曼昆的〈宏觀經濟學(第5版)》將微觀經濟學定義為“關于家庭和企業如何作出決策以及這些決策者在市場上如何相互作用的研究。”其中心原理是最優化一他們在給定的目標和所面臨的約束條件的情況下盡其所能做得最好。⑦他在《經齊學原理一微觀經濟學分冊(第5版)》中，則更是將經濟學簡化為“研究社會如何管理自己的稀缺資源。”⑧另一部流行的經濟學教科書即保羅薩繆爾森、威廉諾德豪斯的〈微觀經濟學(第19版)》對此稍作拓展:經濟學研究的是—個社會如何利用稀缺的資源生產有價值的商品，并將它們在不同的人中間進行分配。⑨諾獎得主貝克爾的解釋更為具體詳盡。根據他的觀點，經濟學定義廣為流傳:稀缺資源如何在各種可供選擇的目標之間進行分配。今天，經濟研究的領域業已囊括人類的全部行為及與之有關的全部決定。經濟學的特點在于，它研究問題的本質，而不是該問題是否具有商業性或物質性。因此，凡是以多種用途為特征的資源稀缺情況下產生的資源分配與選擇問題,均可納入經濟學的范圍,均可以用經濟分析加以研究。經濟分析是一種統一的方法,適用于全部人類行為。我確信,經濟學之所以有別于其他社會科學而成為一門學科關鍵所在不是它的研究對象,而是它的研究方法。最大化行為、市場均衡和偏好穩定的綜合假定及其不折不扣的運用便構成了經濟分析的核心。①1988年出版的科斯《企業、市場與法律》，則在借用羅賓斯有關經濟學定義(經濟學，就是對如何安排人類目標與多種用途的稀缺資源之間關系的人類行為的研究。)后，認為“這個定義使經濟學成為一門研究人類選擇的學科”。更進一步而言，由貝克爾歸納的經濟學本質一最大化其效用的理性選擇研究方法‘運用于分析動物行為就毫無問題”。
關鍵詞：大學物理；課程有效性；課程實施方法
物理學的發展使得自然科學各個學科和領域的以突飛猛進的熟讀得到發展物理學在20世紀以來更是站在了科學的前沿，推動了新技術、新產業的進步，深刻地影響著社會進步和經濟發展。可以說，物理學的發展是提高全民科學素質教育的搖籃，首先，物理是理工科學生學好后續專業課程的基礎，例如信息工程系中的計算機科學與技術專業，要求學生有一定的電學知識，建筑工程系的土木工程要求學生有一定的力學知識基礎。其次，物理的學習過程會使學生掌握和學習科學的思維方法和研究方法，能夠進一步培養學生的科學思維能力、開闊思路、激發他們探索和創新的精神，真正提高人才素質[1]。
近年來，大學物理的基礎地位正面臨危機，教學時數逐漸減少，受重視的程度也在不斷降低。但物理學領域在高溫超導、納米技術等應用領域取得了很大成就，人才向應用領域轉移。因此，隨著科學技術的發展和社會的進步，大學物理教學的主要任務是注重思維方法和科學素質的培養，重視實踐環節，培養具有創新能力的應用型人才[2]。
課程是高校實施教學過程的主體工程，高校人才培養的質量很大程度上取決于課程的有效性。課程是學生成長的養料，是實現人才培養目標的基礎性工程。課程的有效性程度決定了人才培養的質量和人才培養目標實現的程度。有效教學是一種現代教學理念，以學生發展為主旨，強調以科學理論為指導，關注教學的有效性，提倡教學方式的多樣化；同時，有效教學也是一種教學實踐活動，必須以遵循教育教學規律為前提，以合乎教學目標為實質，以實現教與學的統一為關鍵。
大學物理課程的有效性包括教學的有效性和教育的有效性，而教育的有效性是以教學的有效性為前提。教學的有效性是指通過一段時間的學習后，學生進步和成績是否達到了預期的目標，是否促進了學生的知識、技能、態度的全面發展。要求教師有能力判斷學生是否達到這些要求，而現在學生學習興趣不高、課時極度被壓縮，教學大綱基本沒有發生變化的情況下，需求一種有效的教學方式來適應現在的物理教學。對于應用型學院來說，高效低耗的課堂、有效的教學是十分必須的。高等院校也迫切需要改變這種教學低效的現狀，而爭取實施有效教學。提高課堂有效性的方法有多方面的，僅在一下幾方面加以討論：
一、在教學設計或實施的過程中注重能力或者素質的訓練與培養
大學物理以知識為載體，探索物理方法、啟迪物理思維、滲透物理思想、培養科學精神。物理學培養學生科學世界觀：時空觀、運動觀、完整的物質世界圖像；科學的認識論和方法論：清晰地物理思想、系統的物理思維方法；創新素質能力：獨立思考、善于提問科學問題能力。創新思維能力：以基本物理思想為前提，利用猜想、類比、定性和定量的方法分析物理結果，分析判斷物理結果正確性的能力；將所學的物理知識應用于其他學科及實際問題的能力，獨立地分析和解決物理問題的能力：概括物理現象、建立物理模型、抽象物理原理的能力[3]。
二、教師苦練教學基本功，深度挖掘教材
要突出教學重難點就要深度挖掘教材，深刻理解教材內容。不僅要發掘教材中的重點和難點，在授課時做到突出重點、突破難點。還要發現不同教材的證明、推導和計算方法的區別。物理教師對這些問題有了深刻的認識，在課堂上能夠引導學生，訓練積極、發散的思維。每一個教師，上課前準備愈充分，教的會愈好。充分的準備還可以應付學生即時的需要。
三、在保證完成基本教學要求同時，突出重點內容
參照教育部高等學校非物理類專業物理基礎課程教學指導分委員會提出的《非物理類理工學科大學物理課程基本教學要求》[4]。每節物理課在標題上就要突出本節課的重點、難點。同時教師要進一步明確對于學生的知識、技能、態度目標的要求，學生素質提升的要求。針對重難點內容有選擇性的進行分解，使得大部分同學能夠聽懂本次課，或者至少有一部分內容是懂了的。也可以利用網絡資源查找課上要用到的 生動、有趣、與實際生活相關的圖片引出本節課內容，所選圖片要包含本節課所講物理原理，能夠引起學生的學習興趣。
四、大學物理教學中融合高等數學知識
大學物理與高等數學關系密切，從常量到變量、從標量到矢量，不少學生在第一次翻閱大學物理教材時，看到書中大量的高等數學符號，不由得對大學物理課程產生畏難心態[5]。大學物理最常見的思想是將載流導線、某一截面或位移分成無數多個無窮小的微元，從而等效達到已知的狀態”，其處理思想就是高等數學中的微分思想。凡是應用微元思想后，其疊加過程皆離不開積分，如果說微分更大的作用在于提供一種思路，提供一種可行的解決問題的途徑，那么積分則是將思路轉化為結論，將過程推演出結果的手段。
五、增強學生的課堂注意力
提高課程導入的藝術性。用物理學的最新進展與應用吸引學生的注意力。運用幽默的語言提高學生注意力。有效的課堂，師生的交流是必不可少的。課堂上的交流反映在教師的教和學生的學；課外交流可以是生活中的實際交流，也可以是不受時空限制的網絡交流。營造民主的教學作風，和諧的課堂人際關系是加強師生課外交流的有效途徑[6]。
大學物理教學要在教育理念上富有時代特色，課程設置上要新穎、實用，緊密聯系就業市場的需求與專業特點[7]。物理學是自然科學的基礎，是科學技術的基礎和帶頭學科，作為理工科專業的大學生，大學物理是其重要的公共基礎課程，它所闡述的基本概念、基本思想、基本規律和基本方法是學生學習后續專業課的理論、邏輯基礎；同時，它也是全面提高學生綜合素質和創新能力的重要課程。為了有效提高大學物理課程的教學質量，在大學物理教學過程中，我們要主動轉變觀念，樹立正確的教學觀；認識物理課程的階段性教學規律和教學特點，促進學生物理認識能力的發展，不斷優化教學，提高大學物理課程的教學效果[8]。
參考文獻：
[1]邊靜.地方工科院校大學物理教學內容改革探索.山東師范大學碩士論文.
[2]朱小芹，唐煌.應用型人才培養模式下大學物理課程體系研究.江蘇技術師范學院學報.2010，16（2），76-78.
[3]張晚云，陸彥文，曾交龍.提高大學物理課堂教學質量的措施研究.高等教育研究學報.2010，33（4），119-120.
[4]教育部高等學校非物理類專業物理基礎課程教學指導分委員會.非物理 類理工科大學物理實驗課程教學基本要求[M].北京：教育部物理基礎課程教學指導委員會.2010
[5]胡俊麗.劉興來.擴招形勢下提高大學物理課堂教學質量的舉措.物理與工程.2012，22（4），53-54.
[6]郭穎，潘峰.營造良好課堂氣氛，提高大學物理教學質量.科技信息.416-418
一、數學知識研究
傳統上認為數學教師至少要掌握他所教的數學知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數學知識以外，數學教師還需要掌握像組織教學、控制課堂秩序等一些教學知識。隨著教學研究的深入，人們發現教師僅僅知道他所教的數學的術語、本畢業論文由整理提供概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數學的學科結構。學科結構的概念最早源于Schwab。他指出了理解學科結構的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學科所表現出來的邏輯結構方面去了解學科結構。比如，引入無理數表示不可公度線段，引入負數與復數表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產生這些概念的前后聯系才能揭示。所謂實體性地是指從學科的概念設計角度去了解學科結構。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數學的學科結構知識稱為關于數學的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發展的，真理是如何確認的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構的區別。正數在數軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數沒有定義或者任意一個數的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數學內部之問的聯系以及數學與其他領域之間的聯系；三是了解數學領域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數學知識的研究，拓寬了人們對教學用的數學知識的理解。它顯示教學用的數學知識是很復雜的，除了術語、概念、法則、程序之外，還有數學學科結構或者關于數學的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產生影響。比如，約定的與邏輯建構的概念的教學策略會有很大的不同，邏輯建構的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關系是怎樣的，它的應用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數學教學，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學生所必須的教學上的理解。比如，僅僅通過推導知道(+6)=a+2ab+b對有效教學是不夠的，教師還需要知道一些學生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學生誤解的知識與消除誤解的教學策略顯然不能納入數學知識的框架，教學用的數學知識的復雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學必須考慮學生已有的知識和知識呈現的最佳序列。在數學學科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關概念，是在學生的頭腦里培育這樣一個領域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內數的加減法的知識包。在這個知識包內，中心概念是20至100數的“借位減法”，它是學習多位數的加減的關鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內地傳統的教材分析研究。這類研究結果是教學參考書的主要內容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數學知識的分析更接近教學用的數學。但它也不是教師教學時使用的數學知識。它最多是教師對教學的考慮，沒有考慮師生互動時產生的數學需求。教師在教學時，能夠動員起來的知識不一定符合教學情境的需要。本畢業論文由整理提供比如教師預期的一種學生的反應在與學生的互動中沒有出現，教師以學生的這種反應為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學時使用的數學知識還有一段距離，教師在教學時可能用得上，也可能用不上。教師在教學時所需要的數學知識遠遠超出教材分析所能提供的內容。
三、教學用的數學知識研究
Ball開創了教學用的數學知識研究。她通過分析數學教學的核心活動，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結果。該課內容是三年級多位數減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數l7開始向后數數，一直數到32得到答案。ba認為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數一下剩余的就行了。Cassandia提供了標準的減法算法，Scan受到啟發，提供了另一種解法：16+16=32，整節課，學生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認為，這節課教學的核心活動是處理數學知識的關聯和控制課堂討論。知識的關聯涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關聯的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關聯的、教具的表征如何轉化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉化為Sean的向后數數的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協調，控制課堂討論首先表現在提供線索和解釋，推動正確的方法的發展；其次表現在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結論超過了三年級學生的理解能力。
Ball對這節課教師需要使用的數學知識進行了歸納。除了傳統的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數學眼光去審查、分析和協調學生的多種解法。最后，教師還需要一些關于數學論證的知識。
通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學用的數學知識的一部分，其余大部分只能在分析數學教學的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學用的數學知識是有效教學的知識基礎。它與數學家的數學知識、教材分析得出的數學知識是不一樣的。它具有一種教學上有用的數學理解，這種理解主要集中于學生的觀念和誤解上。學生對特定內容的理解是有差異的，教師需要調和學生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉換，引導學生把知識進一步組織，促進學生在已有的知識基礎上有效學習。
2．教學用的數學知識是高觀點下的數學知識，它聯系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學三年級的兩位數退位減法，但是，通過對課堂教學核心數學活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數學的等價、同構、相似性和表征之間的轉化等概念。從結構上說，前五種解法是同構的，前五種解法和最后一種缺失加數的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數學結構上理清這些解法的關系，才能有效地引導學生在不同的方法之間轉換并分清這些方法的異同，促進學生高效地組織自己的數學知識。香港的“課堂學習研究”也證實，數學專家參與的教研活動，能提升課堂教學的有效性。
3．教學用的數學知識存在一定的結構。首先是學生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學的起點。以學生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學生已經構成內在網絡的概念和方法聯系起來，這是提高教學效率的奧妙；其次是教學策略。像Ball的課例所展示的，學生的理解各種各樣，需要教師使用相應的策略來控制課堂討論，協調不同的方法，促進正確的方法發展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學生的誤解，促進學生自我評價的參與，促進學生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學科的橫向聯系，是教師用來教學的數學知識基礎。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學科各知識點的固著關系及其潛在距離，構建適合學生特點的、具有合適梯度的結構序列，是提高教學效率的基礎；最后是教學目的的統領性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學生的經驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數學的理解、信念數學的認識論以及對特定學生最有價值的數學知識的判斷。當然，這些成分是從不同的維度來說明教學用的數學知識的屬性，它們之間的關系及提高課題教學效率的機制還需從課堂教學的經驗出發進一步的概念化。超級秘書網
論文關鍵詞：數學；教學；知識；教師教育
一、數學知識研究
傳統上認為數學教師至少要掌握他所教的數學知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數學知識以外，數學教師還需要掌握像組織教學、控制課堂秩序等一些教學知識。隨著教學研究的深入，人們發現教師僅僅知道他所教的數學的術語、概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數學的學科結構。學科結構的概念最早源于Schwab。他指出了理解學科結構的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學科所表現出來的邏輯結構方面去了解學科結構。比如，引入無理數表示不可公度線段，引入負數與復數表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產生這些概念的前后聯系才能揭示。所謂實體性地是指從學科的概念設計角度去了解學科結構。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數學的學科結構知識稱為關于數學的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發展的，真理是如何確認的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構的區別。正數在數軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數沒有定義或者任意一個數的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數學內部之問的聯系以及數學與其他領域之間的聯系；三是了解數學領域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數學知識的研究，拓寬了人們對教學用的數學知識的理解。它顯示教學用的數學知識是很復雜的，除了術語、概念、法則、程序之外，還有數學學科結構或者關于數學的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產生影響。比如，約定的與邏輯建構的概念的教學策略會有很大的不同，邏輯建構的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關系是怎樣的，它的應用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數學教學，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學生所必須的教學上的理解。比如，僅僅通過推導知道(+6)=a+2ab+b對有效教學是不夠的，教師還需要知道一些學生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學生誤解的知識與消除誤解的教學策略顯然不能納入數學知識的框架，教學用的數學知識的復雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學必須考慮學生已有的知識和知識呈現的最佳序列。在數學學科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關概念，是在學生的頭腦里培育這樣一個領域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內數的加減法的知識包(圖1)。在這個知識包內，中心概念是20至100數的“借位減法”，它是學習多位數的加減的關鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內地傳統的教材分析研究。這類研究結果是教學參考書的主要內容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數學知識的分析更接近教學用的數學。但它也不是教師教學時使用的數學知識。它最多是教師對教學的考慮，沒有考慮師生互動時產生的數學需求。教師在教學時，能夠動員起來的知識不一定符合教學情境的需要。比如教師預期的一種學生的反應在與學生的互動中沒有出現，教師以學生的這種反應為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學時使用的數學知識還有一段距離，教師在教學時可能用得上，也可能用不上。教師在教學時所需要的數學知識遠遠超出教材分析所能提供的內容。
三、教學用的數學知識研究
Ball開創了教學用的數學知識研究。她通過分析數學教學的核心活動，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結果。該課內容是三年級多位數減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數l7開始向后數數，一直數到32得到答案。ba認為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。MEi的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數一下剩余的就行了。Cassandia提供了標準的減法算法，Scan受到啟發，提供了另一種解法：16+16=32，整節課，學生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認為，這節課教學的核心活動是處理數學知識的關聯和控制課堂討論。知識的關聯涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關聯的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關聯的、教具的表征如何轉化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉化為Sean的向后數數的方法、Betsy的方法如何和MEI的方法協調，控制課堂討論首先表現在提供線索和解釋，推動正確的方法的發展；其次表現在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結論超過了三年級學生的理解能力。
Ball對這節課教師需要使用的數學知識進行了歸納。除了傳統的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數學眼光去審查、分析和協調學生的多種解法。最后，教師還需要一些關于數學論證的知識。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學用的數學知識的一部分，其余大部分只能在分析數學教學的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學用的數學知識是有效教學的知識基礎。它與數學家的數學知識、教材分析得出的數學知識是不一樣的。它具有一種教學上有用的數學理解，這種理解主要集中于學生的觀念和誤解上。學生對特定內容的理解是有差異的，教師需要調和學生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉換，引導學生把知識進一步組織，促進學生在已有的知識基礎上有效學習。
2．教學用的數學知識是高觀點下的數學知識，它聯系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學三年級的兩位數退位減法，但是，通過對課堂教學核心數學活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數學的等價、同構、相似性和表征之間的轉化等概念。從結構上說，前五種解法是同構的，前五種解法和最后一種缺失加數的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數學結構上理清這些解法的關系，才能有效地引導學生在不同的方法之間轉換并分清這些方法的異同，促進學生高效地組織自己的數學知識。香港的“課堂學習研究”也證實，數學專家參與的教研活動，能提升課堂教學的有效性。
3．教學用的數學知識存在一定的結構。首先是學生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學的起點。以學生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學生已經構成內在網絡的概念和方法聯系起來，這是提高教學效率的奧妙；其次是教學策略。像Ball的課例所展示的，學生的理解各種各樣，需要教師使用相應的策略來控制課堂討論，協調不同的方法，促進正確的方法發展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學生的誤解，促進學生自我評價的參與，促進學生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學科的橫向聯系，是教師用來教學的數學知識基礎。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學科各知識點的固著關系及其潛在距離，構建適合學生特點的、具有合適梯度的結構序列，是提高教學效率的基礎；最后是教學目的的統領性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學生的經驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數學的理解、信念數學的認識論以及對特定學生最有價值的數學知識的判斷。當然，這些成分是從不同的維度來說明教學用的數學知識的屬性，它們之間的關系及提高課題教學效率的機制還需從課堂教學的經驗出發進一步的概念化。
論文關鍵詞：數學；教學；知識；教師教育
一、數學知識研究
傳統上認為數學教師至少要掌握他所教的數學知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數學知識以外，數學教師還需要掌握像組織教學、控制課堂秩序等一些教學知識。隨著教學研究的深入，人們發現教師僅僅知道他所教的數學的術語、概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數學的學科結構。學科結構的概念最早源于Schwab。他指出了理解學科結構的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學科所表現出來的邏輯結構方面去了解學科結構。比如，引入無理數表示不可公度線段，引入負數與復數表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產生這些概念的前后聯系才能揭示。所謂實體性地是指從學科的概念設計角度去了解學科結構。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數學的學科結構知識稱為關于數學的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發展的，真理是如何確認的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構的區別。正數在數軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數沒有定義或者任意一個數的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數學內部之問的聯系以及數學與其他領域之間的聯系；三是了解數學領域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數學知識的研究，拓寬了人們對教學用的數學知識的理解。它顯示教學用的數學知識是很復雜的，除了術語、概念、法則、程序之外，還有數學學科結構或者關于數學的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產生影響。比如，約定的與邏輯建構的概念的教學策略會有很大的不同，邏輯建構的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關系是怎樣的，它的應用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數學教學，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學生所必須的教學上的理解。比如，僅僅通過推導知道(+6)=a+2ab+b對有效教學是不夠的，教師還需要知道一些學生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學生誤解的知識與消除誤解的教學策略顯然不能納入數學知識的框架，教學用的數學知識的復雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學必須考慮學生已有的知識和知識呈現的最佳序列。在數學學科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關概念，是在學生的頭腦里培育這樣一個領域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內數的加減法的知識包(圖1)。在這個知識包內，中心概念是20至100數的“借位減法”，它是學習多位數的加減的關鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內地傳統的教材分析研究。這類研究結果是教學參考書的主要內容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數學知識的分析更接近教學用的數學。但它也不是教師教學時使用的數學知識。它最多是教師對教學的考慮，沒有考慮師生互動時產生的數學需求。教師在教學時，能夠動員起來的知識不一定符合教學情境的需要。比如教師預期的一種學生的反應在與學生的互動中沒有出現，教師以學生的這種反應為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學時使用的數學知識還有一段距離，教師在教學時可能用得上，也可能用不上。教師在教學時所需要的數學知識遠遠超出教材分析所能提供的內容。
三、教學用的數學知識研究
Ball開創了教學用的數學知識研究。她通過分析數學教學的核心活動，直接研究課堂教學中教師使用的數學知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結果。該課內容是三年級多位數減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數l7開始向后數數，一直數到32得到答案。ba認為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數一下剩余的就行了。Cassandia提供了標準的減法算法，Scan受到啟發，提供了另一種解法：16+16=32，整節課，學生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認為，這節課教學的核心活動是處理數學知識的關聯和控制課堂討論。知識的關聯涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關聯的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關聯的、教具的表征如何轉化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉化為Sean的向后數數的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協調，控制課堂討論首先表現在提供線索和解釋，推動正確的方法的發展；其次表現在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結論超過了三年級學生的理解能力。
Ball對這節課教師需要使用的數學知識進行了歸納。除了傳統的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數學眼光去審查、分析和協調學生的多種解法。最后，教師還需要一些關于數學論證的知識。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學用的數學知識的一部分，其余大部分只能在分析數學教學的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學用的數學知識是有效教學的知識基礎。它與數學家的數學知識、教材分析得出的數學知識是不一樣的。它具有一種教學上有用的數學理解，這種理解主要集中于學生的觀念和誤解上。學生對特定內容的理解是有差異的，教師需要調和學生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉換，引導學生把知識進一步組織，促進學生在已有的知識基礎上有效學習。
2．教學用的數學知識是高觀點下的數學知識，它聯系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學三年級的兩位數退位減法，但是，通過對課堂教學核心數學活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數學的等價、同構、相似性和表征之間的轉化等概念。從結構上說，前五種解法是同構的，前五種解法和最后一種缺失加數的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數學結構上理清這些解法的關系，才能有效地引導學生在不同的方法之間轉換并分清這些方法的異同，促進學生高效地組織自己的數學知識。香港的“課堂學習研究”也證實，數學專家參與的教研活動，能提升課堂教學的有效性。
3．教學用的數學知識存在一定的結構。首先是學生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學的起點。以學生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學生已經構成內在網絡的概念和方法聯系起來，這是提高教學效率的奧妙；其次是教學策略。像Ball的課例所展示的，學生的理解各種各樣，需要教師使用相應的策略來控制課堂討論，協調不同的方法，促進正確的方法發展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學生的誤解，促進學生自我評價的參與，促進學生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學科的橫向聯系，是教師用來教學的數學知識基礎。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學科各知識點的固著關系及其潛在距離，構建適合學生特點的、具有合適梯度的結構序列，是提高教學效率的基礎；最后是教學目的的統領性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學生的經驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數學的理解、信念數學的認識論以及對特定學生最有價值的數學知識的判斷。當然，這些成分是從不同的維度來說明教學用的數學知識的屬性，它們之間的關系及提高課題教學效率的機制還需從課堂教學的經驗出發進一步的概念化。
